Problème d'avril 2007

Pour des nombres complexes a, z dans D={ s: |s|<1},
soit F(a,z)=(a+z)/(1+bar(a)z) où bar(a) est le conjugué de a.
soit d(a,b)=|(a-b)/(1-bar(a)b)| pour a,b dans D.
Montrer qu'il existe une fonction C de D dans IR+ telle que
d(F(a,z),F(b,z)) =< C(z) d(a,b).
Déterminer la valeur minimale de C(z) vérifiant cette inégalité.

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C(z)=(1+|z|)/(1-|z|)