problème N°71 de la semaine (05/03/2007-11/03/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour,

Solution postée
voici la solution de pcoBonjour :

x, y et z sont nécessairement différents (car 0 n'est pas premier)
Ils ne peuvent être tous impairs car leurs différences seraient toutes trois paires, donc égales à 2, et on ne peut avoir trois nombres distincts dont les différences 2 à 2 valent 2 ou -2.
Comme il n'y a qu'un seul premier pair, l'un est donc pair et les deux autres sont impairs : 2 < x < y
Donc y - 2 est premier pair et vaut par conséquent 2 ==> 2 < x < x+2
Dans ce cas, les 3 différences valent 2, x-2 et x

On cherche donc x impair tel que x-2, x et x+2 soient premiers. Mais ces 3 nombres, modulo 3, sont distincts et l'un est donc divisible par 3. Premier, il vaut donc 3.
La solution est donc x-2=3, ou x=3, ou x+2=3 ==> x = 5, seule solution

Les trois nombres cherchés ne peuvent donc être que (2, 5, 7)
(les non puristes accepteront peut-être (2, 3, 5) avec x=3, mais cela suppose 1 premier, ce qui n'est pas correct)

Patrick

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
x<y<z premiers
si x>2
==> x, y et z impairs
==> y-x, z-y et z-x pairs et premiers
==> y-x=z-y=z-x=2 pas de solution
Si x=2
==> y et z impairs
==> z-y pair et premier
==> z-y=2
==> y-2 , y et y+2 premiers
Comme 1 n'est pas premier par convention ==> y>=5
Si y>5 premier ==> y=6k+1 ou y=6k+5 pour un certain k>0
Si y=6k+1 ==> y+2=6k+3 n'est pas premier
si y=6k+5 ==> y-2=6k+3 n'est pas premier
==> y=5 et z=7
Donc {x,y,z}={2,5,7}
A+

salut tout le monde ;
solution postée.
voici la solution de selfersept
salut Mr SAMIR.
Soient x,y,z les nombres premiers qu on cherche
x,y,z ne peuvent pas etre egaux.
ben, supposons x<y<z
si ces entier etaient tous >2 on aurait lx-yl,lx-zl,ly-zl sont tous pairs
==>y-x=2 ,z-x=2 ,z-y=2 ==> pas de solution
donc lun de ces entiers est egale a 2
*soit x=2 **alors , z et y sont impairs (sinon l un d'eux =2!!)
alors lz-yl sera pair ==>y-z=2
et lz-2l et ly-2l sont premiers ==> ly-4l et ly-2l sont premiers
on a y impair ==> ly-4l est impair
**si y=3 alors 3-2=1 nest pas premier.
**alors y>=5 ==>y=µ[3] (µ£{-1,1})
*si µ=1 alors y-4=0[3] ==>y-4=3 ==>y=7 ==>z=5
*si µ=-1 alors y-2=-3=0[3] ==>y-2=3 ==> y=5 ==> z=3 absurde 3-2=1.
resumé:
si x=2 alors y=7 et z=5
S={(2,7,5),(2,5,7),(7,2,5),(7,5,2),(5,7,2),(5,2,7)}

solution postée
voici la solution de Mahdi


[color=red]bonjour

on sait que la difference de deux nombres premiers est un nombre paire qui n'est pas un nombre premier(excepté 2) alors on cherche les differences qui donnent un nombre impaire et puis on cherche ceux qui donnent 2

on travaille sur P+ et puis on fait la meme chose sur P-

les triplets (7,5,2) et (5,3,2) verifient les conditions de l'enoncé chercheons d'autres solutions

on suppose alors que z>y>x on a :
y-x=2 (L1)
z-x=2 (L2)
z-y=2 (L3)

on fait (L3)-(L2) on trouve x=y on remplacant dans L1 on trouve que 0=2 absurde
alors les seuls triplets verifiant les conditions de l'enoncé sont :

(x,y,z)={(7,5,2)(7,2,5)(2,7,5)(2,5,7)(5,7,2)(5,2,7)(5,3,2)(5,2,3)(2,3,5)(2,5,3)(3,2,5)(3,5,2)}

[color:a241=red:a241]meme raisonnement sur P-

slt tt le monde solution postee
voici la solution de g_unit_akon
bonjour mr SAMIR
voila la methode de"g_unit_akon"
supposons que x<y<z
on a tous les nombres premiers sont impair a part 2
alors on doit traiter trois cas

supposons que x;yet z>2
alors y-x=2k+1==>xest paire et y est impaire(ou le contraire)
et z-x=2k+1==>z est impaire
z-y=2k+1==>l'un de y et z est pair ce qui est faux
alors ce cas est impossible

supposons que x=2 et y,z >2
on a z-y=2k et y-2=2k+1 et z-2=2k+1
alors z-y=2 et on a tous les nombres premiers>7 sont divisibles par 3 (montrer par absurde) alors z=7 ==>y=5
merci a vous

Salut!
Solution postée.
voici la solution de KendorVoici une solution plus simple:
Démontrons tout d’abord que 3,5,7 sont les seuls nombres premiers triplés.

Parmi k,k+2 et k+4,un et un seul est un multiple de 3,et n’est donc premier que s’il est égal à 3.
Ceci donne 3 triplets possibles suivant la place de 3 dans le triplet:(3,5,7),(1,3,5) et (-1,1,3)
Or 1 n’est pas premier.
Finalement,seul (3,5,7) convient comme triplet de nombres premiers.

x<y<z premiers
Si x est impair,alors z-x=z-y=y-x=2 (seul premier pair)
Ceci étant impossible car x<>y,alors x=2
On veut que y-x=y-2 soit premier
De plus y et z étant impairs,z-y=2 (seul premier pair)
Donc z=y+2 est premier.
Finalement y-2,y et y+2 sont premiers
Donc y=5 et z=7,puisque seuls 3,5,7 sont premiers triplés.

Finalement un seul triplet convient : (x,y,z)=(2,5,7)


Ciao!
A+

Kendor

salam
solution postée
voici la solution d'aissa[color=red]salam
si (x,y,z) est solution alors (-x,-y,-z) aussi et toutes les permutations des 2 triplets.
2 et -2 sont les 2 entiers premier impairs , la difference de 2 entiers impair est paire donc un triplet solution est formé des éléments de la formes : 2, p et p+2 ou bien -2 , p et p+2
soit p premier ; 2 , p et p+2 verifie les conditions du problème alors:
si p=o mod(3) alors p=3 ou -3 ne verifie pas
si p=1mod(3) alors alors p+2=0 mod(3) donc p+2=3 ou -3 (car p+2 est premier) alors p=-5 et 2, -5, -3 verinent les conditions du pr.
si p=-1 mod(3) alors p-2=0mod(3) donc p-2= 3 ou -3 car p-2 est premier alors p=5 ; et on a : 2 , 5 , 7 verifie les cond du prob.
on fait de meme pour le cas : -2 , p et p+2 les solutions sont alors :
[color:e3b4=red:e3b4]les triplets : (2,5,7) , (2,-5,-3) , (-2,-5,-7) et (-2,5,3) ainsi que toutes leurs permutations.



انسان +تراب + وقت= منتوج حضاري