f(Z²)=Z² si est seulement a,b,c,d £ IZ et |ad-bc|=1

f(x,y)=(ax+by,cx+dy) tq a,b,c,d £ IR

montrez que f(Z²)=Z² si est seulement a,b,c,d £ IZ et |ad-bc|=1

si f(Z²)=Z²
alors f(1,0)=(a,c) et f(1;0)=(b,d) sont dans Z² ==> a,b,c,d sont dans Z
soit (u,v) dans Z², il existe (x,y) dans Z² : f(x,y)=(u,v)
==> ax+by=u et cx+dy=v
==> adx+bdy=ud , bcx+bdy=bv et acx+bcy=cu , acx+ady=av
==> (ad-bc)x=ud-bv et (ad-bc)y=av-cu (*)
==> (ad-bc) divise ud-bv et av-cu qqs u,v dans Z ==> |ad-bc|=1

inversement, si a,b,c,d £ IZ et |ad-bc|=1
qqs (x,y) dans Z² , f(x,y) est dans Z²
soit (u,v)dans Z² ===> f(x,y)=(u,v) pour x,y vérifiant (*)