Bonjour,
*Supposons que (a,b) est un couple solution du problème cherché.
Soit d=PGCD(a,b) . On a : d divise a et d divise b , donc d divise a+b=162 , donc d appartient à l'ensemble des diviseurs positifs de 162 qui est
E={1,2,3,6,9,18,27,54,81,162} . De plus les 6 diviseurs communs à a et b divisent d , donc d est un élément de E qui admet 6 diviseurs
positifs.
Et puisque 18 est le seul élément de E qui admet 6 diviseurs positifs , on a : d=18 .
D'autre part : a=da' et d=db' avec PGCD(a',b')=1 . Donc a+b=d(a'+b')=18(a'+b')=162 , donc a'+b'=9 , donc {a',b'}={1,8} ou {2,7} ou {4,5} .
Par suite (a,b)=(18,144) ou (144,18) ou (36,126) ou (126,36) ou (72,90) ou (90,72) : (*)
** Réciproquement les couples trouvés en (*) sont solutions du problème cherché .
Accueil 
