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 Diviseurs communs !

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2 participants
AuteurMessage
Syba
Maître
Syba


Masculin Nombre de messages : 132
Age : 28
Date d'inscription : 08/09/2012

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MessageSujet: Diviseurs communs !   Diviseurs communs ! EmptyDim 17 Fév 2013, 12:42

Bonjour,

Soient a et b deux entiers naturels, tel que: a+b=162, et: le nombre de diviseurs communs entre a et b soit 6.
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haiki55
Maître



Masculin Nombre de messages : 121
Age : 34
Date d'inscription : 22/09/2010

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MessageSujet: Re: Diviseurs communs !   Diviseurs communs ! EmptyLun 18 Fév 2013, 09:43

Bonjour,

*Supposons que (a,b) est un couple solution du problème cherché.

Soit d=PGCD(a,b) . On a : d divise a et d divise b , donc d divise a+b=162 , donc d appartient à l'ensemble des diviseurs positifs de 162 qui est

E={1,2,3,6,9,18,27,54,81,162} . De plus les 6 diviseurs communs à a et b divisent d , donc d est un élément de E qui admet 6 diviseurs

positifs.

Et puisque 18 est le seul élément de E qui admet 6 diviseurs positifs , on a : d=18 .

D'autre part : a=da' et d=db' avec PGCD(a',b')=1 . Donc a+b=d(a'+b')=18(a'+b')=162 , donc a'+b'=9 , donc {a',b'}={1,8} ou {2,7} ou {4,5} .

Par suite (a,b)=(18,144) ou (144,18) ou (36,126) ou (126,36) ou (72,90) ou (90,72) : (*)

** Réciproquement les couples trouvés en (*) sont solutions du problème cherché .




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