Problème de semaine A.2

Salut,

J'ai mal tapé l'énoncé, mais j'ai maintenu cette version pour permettre à plus de monde de participer.

Solution :

Il suffit de remarque que pour tout x positif x+1/x >=2 pour voir que le produit à droite est supérieur à 16>5. Par conséquence, il n'existe pas de solution.



Réponses correctes:

J'ai reçu 4 solutions correctes.

galillee56
abdelkrim-amine
nmo
Humber

Félicitations.

Désolé mais dans l'énoncé on parlait d'entiers mais pas d'indication si on travaille sur IN ou Z .

Parce que là vous avez traité le cas où ils sont tous positifs.

Qu'est ce que vous voulez dire par : j'ai maintenu cette version

Amicalement

Pas besoin qu'on se vouvoie^^

Tu as tout à fait raison, je voulais dire par entier IN, mais sinon je poste ta solution car elle traite aussi le cas négatif.

L'équation est équivalente à :

(a²+1)(b²+1)(c²+1)(d²+1)=5abcd
==> (a²+1)|5abcd et (b²+1)|5abcd et (c²+1)|5abcd et (d²+1)|5abcd
-Si a ou b ou c ou d est impair alors on obtient qu'un nombre pair divise un impair ce qui est impossible (Puisque (a²+1)|5abcd <==> Il existe un k entier tel que 5abcd=k(a²+1), or puisque a²+1 est pair alors k(a²+1) est pair, impossible puisque 5abcd est impair ) .
Conclusion : a pair, b pair , c pair, et d pair ( Simple raisonnement par l'absurde )

-Si a, b, c et d sont pairs on remarque que 5abcd est pair alors que (a²+1), (b²+1),(c²+1) et (d²+1) sont impairs ==> (a²+1)(b²+1)(c²+1)(d²+1) est impair ce qui nous fournit une deuxième contradiction.

On conclue donc que l'équation n'admet pas de solution entière.


La version correcte que je voulais proposer est de résoudre l'équation

(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5

Voilà !