problème N°34 de la semaine (19/06/2006-25/06/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

salut
solution postée
voici la solution d'eto


a ,b et c sont les racine des polynome donc
(x-a)(x-b)(x-c)=p(x)
alors a+b+c=0 et ab+ac+cb=-1 et abc=1
S=-3+2(1-a)(1-b)/(1-a)(1-b)(1-c)+2(1-b)(1-c)/(1-a)(1-b)(1-c)+2(1-a)(1-c)/(1-a)(1-b)(1-c)
=-3+2(1-a-b+ab+1-a-c+ac+1-b-c+bc)/(1-a-b-c-abc+ab+ac+bc)
=-7

Bonsoir
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui

On a P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-x-1 , alors abc=1, ab+ac+bc=-1 et a+b+c=0
S=(1+a)/(1-a)+(1+b)/(1-b)+(1+c)/(1-c)

(1+a)(1-b)(1-c)=1+a-b-ab-c-ac+bc+abc
(1+b)(1-a)(1-c)=1+b-a-ab-c-bc+ac+abc
(1+c)(1-a)(1-b)=1+c-a-ac-b-bc+ab+abc

(1-a)(1-b)(1-c)=P(1)=-1

==> -S=(1+a)(1-b)(1-c)+(1+b)(1-a)(1-c)+(1+c)(1-a)(1-b)=3+3abc-(a+b+c)-(ab+ac+bc)
==> -S=6+1=7 ==> S=-7

A+

Solution postée
voici la solution de mahmoud16:
si f(x)=x^3-x-1=(x-a)(x-b)(x-c) :a+b+c=0 abc=1,ab+bc+ca=-1;on note S=(1+a)/(1-a)+-(1+b)/(1-b)+(1+c)/(1-c)=N/(1-a)(1-b)(1-c), et on a N=3-(a+b+c)-(ab+bc+ca)+3abc=7 et f(1)=-1 , d'ou S= - 7

bonsoir
solution postée
voici la solution de khamaths

ona P(x)= x^3-x-1 = (x-a)(x-b)(x-c)
a ;b; et c sont non nulles et vérifient : (1-a)(1-b)(1-c)= -1
abc=1
a+b+c=0
on a: -S=(a+1)(1-b)(1-c) +(b+1)(1-a)(1-c) +(c+1)(1-a) (1-b)
=(a+1)(a+1+1/a)+(1-a)((-2+2a)/a)
=1/a(7a)
=7
conclusion : S = - 7

solution postée
solution de rodman
S=-7

je m'excuse
voici la solution de Kalm
x^3-x-1=(x-a)(x-b)(x-c) car a et b et c sont des racines du polynome

donc x^3-x-1=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc

donc a+b+c=o et ab+ac+bc=-1 et abc=1

apres sa je vous laisent de calculer S

c'est facille n'est pa

Bonjour,
Solution postée
voici la solution de pco

Si a est racine complexe de x^3-x-1 :
a(a+1)(a-1) = 1
1/(1-a) = -a(a+1)
(a+1)/(1-a) = -a(1+a)^2
= -a^3 - 2a^2 -a
= -2a^2 -2a -1
Donc S = -2(a^2 + b^2 + c^2) -2(a+b+c) -3
= -2(a+b+c)^2 -2(a+b+c) +4(ab+ac+bc) -3
Or, puisque x^3-x-1 = (x-a)(x-b)(x-c) :
a+b+c = 0 (-coefficient de x^2)
ab+ac+bc = -1 ( coefficient de x)

Donc S = -7

Voici une autre manière plus simple
On a P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-x-1 , alors abc=1, ab+ac+bc=-1 et a+b+c=0 et (1-a)(1-b)(1-c)=P(1)=-1

S=(1+a)/(1-a)+(1+b)/(1-b)+(1+c)/(1-c)
On écrit (1+a)/(1-a)=-1 +2/(1-a)
==> S=-3+2(1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c))
==> S=-3-2((1-b)(1-c)+(1-a)(1-c)+(1-a)(1-b))
==> S=-3-2(1-b-c+bc+1-a-b+ab+1-a-c+ac)=-3-2(3-1)=-7