problème N°32 de la semaine (05/06/2006-11/06/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
voici la solution d'elhor
Bonjour;
Pour tous réels x et h on a,
|f(x+h)-f(x)|<(ou =)h²
ainsi pour h non nul on aura,
|(f(x+h)-f(x))/h|<(ou =)|h|
ceci montre (en faisant tendre h vers 0) que f est dérivable en tout réel x et que,
f'(x)=0
la connexité de R donne alors que f est constante.
En particulier on voit que,
f(2007)-f(2006)=0
(Sauf erreurs bien entendu)

Bonsoir
Solution postée
voici la solution d'Abdelbaki attioui
Bonsoir,
la relation implique que f est dérivable sur IR et f'(x)=0 pour tout x, alors f est une constante ( IR est intervalle). Donc f(2007)-f(2006)=0
A+

la valeur est unique

eto a écrit:

la valeur est unique

oui

solution postée
voici la solution d'eto
-(1/n)^2=<f(2007)-f(2007-1/n)=<(1/n)^2
-(1/n)^2=<f(2007-1/n)-f(2007-2/n)=<(1/n)^2
..
..
..
..
-(1/n)^2=<f(2006+1/n)-f(2006)=<(1/n)^2
en sommant==>-1/n=<f(2007)-f(2006)=<1/n
on a lim 1/n et -1/n =0 qd n tend vers + linfini
f(2007)-f(2006)=0

solution postée
voici la solution de Khamaths
salut
pour le problème posé;
On voit que la fonction f est continue et meme dérivable en tout point y de IR et que;
f ' (y) =0 pour tt y dans IR
i.e f est une fonction constante sur IR
D 'ou f(2007)-f(2006) =0
Khamaths

Salam,

Solution postée
voici la solution de GOOOOD
Salam,

Partitionnons l'intervalle [2006,2007] en 1/a intervalles de la même ampleur a.
On a donc :
|f(2007)-f(2007-n)|=<a²
|f(2007-n)-f(2007-2n)|=<a²
...
|f(2006+n)-f(2006)|=<a²
Ce qui fait que :
|f(2007)-f(2006)|=<a²(1/a)=a
En zéro, la limite de a est 0, et donc f(2007)-f(2006)=0.
En fait, f ne serait-elle pas constante ?!

A la prochaine !

--
Sir Ahmed.

Solution postée
voici la solution de Pco
Bonjour,

|f(x) - f(y)| <= |x - y|^2

Cette propriété implique immédiatement la continuité de f.

Elle implique ensuite, pour tout x et pour tout h > 0
|(f(x+h) - f(x))/h| <= |h|

La fonction est donc continue dérivable et sa dérivée est nulle.

C'est la fonction constante et donc f(2007) - f(2006) = 0.

--

voir aussi
https://mathsmaroc.jeun.fr/viewtopic.forum?t=169&sid=7717f3de792eaf7661de0b6f6d3fab3a