Jolie!!!

a,b,c des nombres positives tel que abc=1 montrer que:

Peux tu poster la reponse stp !!?

Bonjour ,

Sous les hypothèses :  a , b , c > 0  et  abc = 1 , 

si on note : u = u(a,b,c) = a + b + c  et  v = v(a,b,c) = ab + bc + ca = 1/a + 1/b + 1/c ,

l'inégalité demandée s'écrit : (u-a)(u-b)(u-c) +7 >= 5u ,

soit après développement :  uv + 6 >= 5u ,

ou encore : v + 6/u >= 5

on distingue alors deux cas :

 si  v >= u , alors :

v + 6/u >= u + 6/u

et comme , u + 6/u - 5 = (u² -5u + 6)/u = (u-3)(u-2)/u >= 0

car  u >= 3 , d'après l'inégalité arithmético-géométrique :  (a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3) = 1 ,

on voit que dans ce cas l'inégalité demandée est satisfaite avec égalité si et seulement si a = b = c = 1

 si  u <= v , alors :

on applique le cas précédent au triplet (1/a , 1/b , 1/c) (qui vérifie les mêmes hypothèses)

vu que  u(1/a,1/b,1/c) = v(a,b,c)  et  v(1/a,1/b,1/c) = u(a,b,c)    sauf erreur de ma part bien entendu

Pardon (erreur de frappe)  , le second cas est plutôt :

 si  u >= v , alors ...

elhor_abdelali a écrit:

 si  u <= v , alors :

on applique le cas précédent au triplet (1/a , 1/b , 1/c) (qui vérifie les mêmes hypothèses)

vu que  u(1/a,1/b,1/c) = v(a,b,c)  et  v(1/a,1/b,1/c) = u(a,b,c)    sauf erreur de ma part bien entendu

Si v'(1/a,1/b,1/c) => u'(1/a,1/b,1/c) alors v'+6/u' >= 5, soit (1/b +1/c)(1/c +1/a)(1/a +1/b) +7 >= 5(1/a +1/b +1/c).

Oui nail tu as parfaitement raison je réfléchis encore au cas u >= v

Si r=(a+b)u, s=(b+c)u, t=(c+a)u étaient en unité u de longueur les côtés d'un triangle, alors 2p=2(a+b+c)u=r+s+t serait son périmètre, S=√{p(p-r)(p-s)(p-t)} serait son aire, et l'inégalité serait formulée rst+7u³>=5pu², or S=√{pu³} traduit la contrainte abc=1. Mais S=rst/{4R}, où R représente le rayon du cercle circonscrit au triangle, tel que 2R = r /sin x = s /sin y = t /sin z, comme relations de sinus dans le triangle. Aussi,
2R = 2p /{sin x + sin y + sin z} dont le minimum à périmètre égal est atteint pour x=y=z=π/3, donc l'inégalité pourrait se réduire au cas particulier 8p√{3pu} /9 +7u² >= 5pu, ou encore 8√3 /9 *P³ +7 >= 5P² où la variable adimensionnée P=√{a+b+c} est telle que P² >=3 *³√{abc} = 3.

naïl a écrit:

(..)
2R = 2p /{sin x + sin y + sin z} dont le minimum à périmètre égal est atteint pour (..)

Cette simplification est pas suffisante, outre que le triangle équilatéral n'est pas valable pour toutes valeurs de p à cause de la condition abc=1.

Bonsoir ,

https://www.ilemaths.net/sujet-une-inegalite-866579.html

Les sommes b+c, c+a et a+b pourraient être les longueurs des côtés d'un triangle XYZ en unités de longueur u. Si R est le rayon de son cercle circonscrit, p la demi-longueur de son périmètre, et x, y et z les mesures en radians respectives de ses angles intérieurs en ses sommets X, Y et Z, alors l'inégalité équivaut à
4Ru^-1 √{pu^-1} +7 >= 5pu^-1 tel que
R=½(sin x sin y sin z sin{x/2} sin{y/2} sin{z/2})^{-1/3} u et p=(tan{x/2} tan{y/2} tan{z/2})^{-2/3} u; ce quels que soient x, y et z tels q x+y+z=π, car la condition abc=1 est réalisable pour tout triangle XYZ par homothétie.

L'inégalité est équivalente à ce que la fonction
soit positive.(il manque la variable gamma comme troisième attribut)

Dans les inégalités des moyennes MH <= MG <= MA, où MH=3/v, MG=1 et MA=u/3 dans ce cas. En plus, si a, b et c sont différents, alors MH < MG < MA, et pour tout alpha nombre réel positif inférieur à 1, {1 /MA < alpha /MH +{1 -alpha} /MA < 1 /MH}. Ce pour tous nombres a, b et c sans que nécessairement abc=1. Or l'exercice stipule que v +6/u >= 5, donc {3 /MH +2 /MA >= 5} si abc=1, { 3 /MH +2 /MA >= 5 /MG} pour a, b et c quelconques positifs( les nombres a/³√{abc}, b/³√{abc} et c/³√{abc} ont des moyennes harmonique et arithmétique égales aux moyennes harmonique et arithmétique des nombres a, b et c divisées par leur moyenne géométrique ³√{abc} respectivement).