montrer que :

montrer que pour tout x>1 et pour tout naturel n non nul on a :

x=sh(t) ==> x²+1=ch²(t)

l'inégalité <==> (sh(t)+ch(t))^n+(sh(t)-ch(t))^n =< 2(1+n(ch(t)-1))^n
<==> e^(nt)+(-1)^n e^(-nt)=< 2(1+2n sh²(t/2))^n

Merci Vz pour ta remarque, en fait c'est pour x>1.

En tendant x vers 1...

au fait c'est vrai pour x>=1. le membre à gauche vaut 1/2((1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n) et non 1/2(1+sqrt(2))^n comme tu as déjà dit

J'ai dit qu'il était équivalent à...puisque n est arbitraire

Non c'est faut, le terme 1/2*(1-sqrt(2))^n compense le terme 1/2*sqrt(1+sqrt(2))^n et le rend davantage plus proche de 1 inférieurement. J'ai tracer la fonction qui donne l'écart entre les deux côtés de l'inégalité pour plusieurs valeurs de n et je peux t'assurer que l'inégalité est bien vraie

Pour n=2 et x=1

Tu as tout à fait raison, je me suis trompé tout au long de la discussion, l'inégalité à démontrer est éditée.