EXO Arithm

Salut tout le monde, je vous propose un exercice d'arithmétique que je n'est pas réussie à résoudre

Résoudre dans Z² l'équation suivante

pgcd(a,b)=1
a²+b²+ab=13

Avec AM-GM : a²+b²+ab >= 3ab ==> ab<= 4 ==> |a|<= 4 et |b|<=4
Pour a=0 : b²=13 Impossible

Pour |a|=1 : b²±b-12=0
==> (b=-4 ou b=3 ) ==> S₁= { (1,-4) ; (1, 3) }
ou (b= -3 ou b= 4) ==> S₂= { (-1,4) ; (-1, 3) }
Pour |a|=2 b²±2b-9=0 ==> delta= (2sqrt(10))² ==> Pas de solutions

Pour |a|=3 : b²±3b-4=0
==> (b=1 ou b= -4) ==> S₃={ (3,1) ; (3,-4) }
ou (b=4 ou b=-1 ) ==> S₄={ (-3,-1) ; (-3,4) }

Pour |a|=4 : |b|=1 ==> S₅= { (4,-1) ; (-1,4) } et S₆= { (-4,1) ; (1,-4) }


Finalement S= { (1,-4) ; (1, 3) ; (-1,4) ; (-1, 3) ; (3,1) ; (3,-4) ; (-3,-1) ; (-3,4) ; (4,-1) ; (-1,4) ; (-4,1) ; (1,-4) }

Merci bien pour votre solution
l'astuce donc c'est l'inégalité AM-GM!!
j'ai une autre question si vous voulez bien me répondre
Et si on nous demande
les nombre appartenant à N tel que x²+y²=13?
la solution c'est S={(2;3);(3;2)} mais je ne sais ps donner une preuve mathématique comment puis-je procéder?

Tu as x² <= 13
==> x<=3

Pour x=0 y²=13 impossible
pour x=1 y²=12 impossible
pour x=2 y²=9 ==> y=3
pour x=3 y²=4 ==> y=2

S={(2;3);(3;2)}

d'accord merci