series

un petit devellopement limite et ca donne
u_n=(-1)^n/ln(n)+O(1/n*(ln(n))^2) convergente donc
v_n=(-1)^n/n +O(1/n^2) convergente
euh sauf erreur bien sur,
si les serie t interresse regarde cette serie c'est tres jolie :
u_n=somme(pour p premier)(1/p)
et apres un plus difficile
v_n=somme ((-1)^n/(p_n)) avec p_n le n-ieme nombre premier

aissa a écrit:

ton développement asymptotique est incorrecte
de plus on ne peut pas résoudre l éxo par le développent !!
bon courage galillée56

Bonjour Aissa;

Je crois que s'il pose Sm = sum un ,n=1..m
aprés il regarde S2m et S2m+1 (elles ont bien la même nature)
ensuite regroupper les terme u2k+u(2k+1) ~ c/n.ln(n) (j'ai pas effectuer les calcul mais au préalable ça doit pas être loin de ça..)

bon courage./

aissa a écrit:

bonjour selfrespect comment ça va les études ,je te souhaite une belle avenir pleine de succès et de bonheur
la série n est pas à termes constants donc l'équivalent ne résout pas le problème
c'est la sommation par paquets qu il faut utiliser
Soit v_n= u_(3n-1) + u_3n +u_(3n+1)
montrer que sum(v_n) est une série alternée, étudier x -->1/ln(3x-1) +1/ln(3x) +1/ln(3x+1)
et conclure
bon courage

Oui ça va hamdoulah Mr Aissa, ça fait plaisir de vous revoir sur le forum;
Sinon je suis tout à fait d'accord avec vous , d'ailleurs c'est ce que j'ai fait pour la première série, ( j'ai pas rassemblé les termes directement, pour mettre en valeur que la suite en question n'est pas du genre de suite qui 'CHANGE D'AVIS QUAND ON RASSEMBLE LEURS TERME" ( je pense y a un exemple posté dans la partie problème du mois )

Vonne soirée

moi aussi je suis très heureux de vous revoir sur le forum ;
il est lijitime de poser la question
est ce qu on a l équivalence: sumu_n) converge <=> sum(v-n) converge ?
Bonne soirée

Bonsoir tout le monde chui trés heureuse de vous rejoindre à nouveau sur ce joli groupe aprés mon longue absence ^_^ chui si motivée de résoudre ce petit probléme en commencant par la 2eme série mais il me reste à prouver si la suite V_n est convergent ou non bon voici mon petit et modeste essai et si la démarche est bonne je m'engage à prouver la convergence:D

par un calcul simple V_n+1=[(V_n/n+2)+(-1)^n+2/n+2]

V_n+1-V_n/n+2=(-1)^n+2/n+2

Or,la série de terme général (-1)^n+2/n+2 converge! dc la série de terme général V_n+1-V_n/n+2 converge

Or si V_n converge alors : V_n+1-V_n/n+2~V_n et par la suite la série de terme général V_n converge ^^

ilham_maths a écrit:

Bonsoir tout le monde chui trés heureuse de vous rejoindre à nouveau sur ce joli groupe aprés mon longue absence ^_^ chui si motivée de résoudre ce petit probléme en commencant par la 2eme série mais il me reste à prouver si la suite V_n est convergent ou non bon voici mon petit et modeste essai et si la démarche est bonne je m'engage à prouver la convergence:D

par un calcul simple V_n+1=[(V_n/n+2)+(-1)^n+2/n+2]

V_n+1-V_n/n+2=(-1)^n+2/n+2

Or,la série de terme général (-1)^n+2/n+2 converge! dc la série de terme général V_n+1-V_n/n+2 converge

Or si V_n converge alors : V_n+1-V_n/n+2~V_n et par la suite la série de terme général V_n converge ^^

Welcom back Ilham ;
Sinon ton essai est bon , mais il faut justifier quelques points notamment ceux en gras dans ta dernière conclusion ;
vus les n! partout et les (-1)^n je pense qu'on pourra introduit la fonction Gama (gama(n)=(n-1)! puis le terme devient décrit par une integrale generalisé de terme compacté exp(-t).((1+t^(n+1))/(1+t) ..

bon courage

Mercii à Vous Mr selfrespect

Pour la ligne en gras elle n'est pas correcte que si la suite V_n converge chose qui reste à démontrer ^^ mais voilàà un autre essaie ^_^

V_n= [1-2!+3!-.....+(-1)^(n-1).(n-2)!]/[(n+1)!]+(-1)^n/n(n+1)+(-1)^n-1/n+1

Or sum((-1)^n/n(n+1)) et sum((-1)^n-1/n+1 ) converge

et par majoration de chaque terme [1-2!+3!-.....+(-1)^(n-1).(n-2)!]/[(n+1)!]< (n-2)(n-2)!/(n+1)! =(n-2)/n(n-2)(n+2)~1/n^2

on sait que sum(1/n^2) converge ( d’après un critère dont j'oublie le nom :d) et donc sum(V-n) converge!!

Bonjour,

le premier exercice se résout très simplement avec le théorème spécial des séries alternées.
En effet, pour a>0, la fonction définie par f(x)=ln(x)+sin(a/x) est croissante pour x>a (sa dérivée est positive).

Effectivement j'avais compris sin(2pi/(3n)) alors qu'il s'agissait de sin(2pi*n/3).
Cela rendait l'exercice trop facile!

Mais on peut quand-même appliquer le théorème spécial des séries alternées au trois séries de termes généraux u_(3n), u_(3n+1) et u_(3n+2).
Puisqu'elles convergent toutes les trois, la série de terme général u_n converge aussi.

On peut d'ailleurs généraliser en remplaçant 3 par un entier impair quelconque.

bonjour jandri
on a pas le droit de faire une étude séparée des des trois séries
mais on utilise le théorème de sommation par paquet
voir le lien suivant
http://denis.monasse.free.fr/livre-html/coursse40.html

Desole je pense qu il y a un malentendu si c sin(2pi/3n) ce que j ai fait est juste mais si c sin((2Pi/3)n) la oui ce que j ai fait n a pas de sens et donc il faudra decoupe en trois paquet

Bonjour aissa,

On n'a pas besoin de sommation par paquets ici, c'est beaucoup plus simple.
Si on note A_n la somme des u_(3k) pour k de 1 à n, B_n la somme des u_(3k-1) pour k de 1 à n et C_n la somme des u_(3k-2) pour k de 1 à n, la somme des u_k de 1 à 3n est égale à A_n+B_n+C_n et converge donc vers A+B+C (chacune des 3 séries converge par le théorème spécial des séries alternées).
Comme u_(3n+1) et u_(3n+2) tendent vers 0 on en déduit que la série de terme général u_n converge et a pour somme A+B+C.

Bonjour aissa,

J'avais répondu par avance à ta question.
Comme u_(3n+1) et u_(3n+2) tendent vers 0, la limite des suites S_(3n+1) et S_(3n+2) est égale à la limite de la suite S_(3n), donc la suite S_n converge vers cette même limite.

Bonjour jandri
allez y démontre que (S_3n) ;(S_3n+1) et (S_3n+2) ont la même limite
BON COURAGE

C'est immédiat puisque S_(3n+1)=S_(3n)+u_(3n+1) et S_(3n+2)=S_(3n+1)+u_(3n+2).
Une fois qu'on a montré la convergence de S_(3n) c'est terminé.

banjour jandri
mais tu a dit que tu résoudra l’exercice sans utiliser des sommations par paquet

Mais je n'utilise pas une sommation par paquets pour résoudre l'exercice.

J'applique le théorème spécial des séries alternées à chacune des trois séries de termes généraux u_(3n), u_(3n-1) et u_(3n-2) (elles vérifient bien les hypothèses de ce théorème).

Si on note A_n la somme des u_(3k) pour k de 1 à n, B_n la somme des u_(3k-1) pour k de 1 à n et C_n la somme des u_(3k-2) pour k de 1 à n, la somme des u_k de 1 à 3n est égale à S_(3n)=A_n+B_n+C_n et converge donc vers A+B+C.

Puisque S_(3n+1)=S_(3n)+u_(3n+1) et S_(3n+2)=S_(3n+1)+u_(3n+2) et que u_n tend vers 0 on déduit que S_n converge vers A+B+C.

Ce que tu a fait s'appelle somation par paquet!!