divisibilité

Trouver tous les entiers naturels x et y tel ke x+y divise xy

Excuses pour le dernier poste.

Voilà, si x+y divise xy, alors x+y divise x^2, car x+y divise x(x+y)-xy. Ainsi il existe k entier naturel tel que x^2=kx+ky, le descriminant de cette équation est delta=k^2+4kb=(k+2b)^2-4b^2 qui doit être un carré parfait, il existe ainsi l entier naturel tell (k+2b)^2-4b^2=l^2, qui s'écrit sous la forme (k+2b)^2=l^2+(2b)^2, qui est un triplet pythagoricien, il existe ainsi une infinité de triplet parreils sous la condition de parité expliquée ici.

radouane_BNE a écrit:

Excuses pour le dernier poste.

Voilà, si x+y divise xy, alors x+y divise x^2, car x+y divise x(x+y)-xy. Ainsi il existe k entier naturel tel que x^2=kx+ky, le descriminant de cette équation est delta=k^2+4kb=(k+2b)^2-4b^2 qui doit être un carré parfait, il existe ainsi l entier naturel tell (k+2b)^2-4b^2=l^2, qui s'écrit sous la forme (k+2b)^2=l^2+(2b)^2, qui est un triplet pythagoricien, il existe ainsi une infinité de triplet parreils sous la condition de parité expliquée ici.

J'avais dans un certain temps fais cette même réflexion et je me suis aussi reporté au triplet pythagoricien, mais j'ai trouvé que cette solution n'était pas convaincante/rigoureuse .ça laisse les chose floues

Pourquoi elle n'est pas rigoureuse ? puisque il y'a une infinité de solutions, il leur faut une caractérisation générale, et il se trouve que le triplet pythagoricien est en effet cette caractérisation...

radouane_BNE a écrit:

Pourquoi elle n'est pas rigoureuse ? puisque il y'a une infinité de solutions, il leur faut une caractérisation générale, et il se trouve que le triplet pythagoricien est en effet cette caractérisation...

Tu as sûrement raison en effet.

Ce que j'avais fait après cette manœuvre(celle du triplet pythogoricien ) c'est la distinction des cas du PGCD(x,y).
Le cas de x=y est clair
En supposant sans perdre de généralité que x < y , d=gcd(x,y) € {1,2...x}

Si d=x , on a x+kx | x² ==>x=ku+u / u € IN . Et en prenant en compte la parité de x, il suffit de prendre des valeur de k et u pour trouver les valeurs de x puis de y
si d=1 , avec u=gcd(x+y,xy) u | x² et u | y². En utilisant le théorème de Bézout, on obtient u | x et u | y . Ce qui done u |d ==> u=1 . Et donc dans ce cas il n'y a pas de solutions.

Après pour les autres cas, ça se complique...

Donc en fin de compte je pense que cette méthode est stérile

radouane_BNE a écrit:

Excuses pour le dernier poste.

Voilà, si x+y divise xy, alors x+y divise x^2, car x+y divise x(x+y)-xy. Ainsi il existe k entier naturel tel que x^2=kx+ky, le descriminant de cette équation est delta=k^2+4kb=(k+2b)^2-4b^2 qui doit être un carré parfait, il existe ainsi l entier naturel tell (k+2b)^2-4b^2=l^2, qui s'écrit sous la forme (k+2b)^2=l^2+(2b)^2, qui est un triplet pythagoricien, il existe ainsi une infinité de triplet parreils sous la condition de parité expliquée ici.

joli travail mais je pense que ta preuve reste incomplète puisque tu n'a po vérifié si tout les entiers de la forme que tu as donné vérifient cette relation tu as juste démontré que si il existait des solutions ils seront de cette forme il te reste de verifier ^^

Ou alors non !

Dans le cas ou gcd(x,y)=x on trouve x=ku+u=u(k+1)

Il suffit de prendre k=2p et u=2^q . Comme ça, x= 2^q(2p+1) et puisque chaque entier s'écrit de cette forme, x parcours IN tout entier.

On peut donc stipuler que l'ensemble solution de ce problème est :

Humber a écrit:

Ou alors non !

Je pense avoir trouvé une solution plutôt convaincante .

Dans le cas ou gcd(x,y)=x on trouve x=ku+u=u(k+1)

Il suffit de prendre k=2p et u=2^q . Comme ça, x= 2^q(2p+1) et puisque chaque entier s'écrit de cette forme, x parcours IN tout entier.

On peut donc stipuler que l'ensemble solution de ce problème est :

euh nn contre exemple : x=50, y=75

Bien vu ! Pour une valeur de x, il existe en effet plusieurs valeurs de y, mais un nombre fini d'entiers y.

Pour le prouver on peut poser x=c un nombre constant, donc y+c|cy et avec y+c | yc+c² on obtient y+c | c² ce qui veut dire que y+c € D(c²) ...

Soit n entier naturel tel que xy/(x+y)=n, soit d=gcd(x,y)et x=da,y=db avec gcd(a,b)=1. Alors en subtituant cela on obtient dab/(a+b)=n, or puisque gcd(a+b,ab)=1, alors a+b divise d, et donc d=k(a+b),ainsi les solutions de cette équation sont :

x=ka(a+b)
y=kb(a+b)
n=kab

ou gcd(a,b)=1et k un entier naturel positif. Donc donnez vous n'importe quel couple (a,b) premier entre eux et n'importe quel entier k, et vous aurez les couples x,y ainsi que n.


C'est la seule et unique générale caractérisation.

radouane_BNE a écrit:

Soit n entier naturel tel que xy/(x+y)=n, soit d=gcd(x,y)et x=da,y=db avec gcd(a,b)=1. Alors en subtituant cela on obtient dab/(a+b)=n, or puisque gcd(a+b,ab)=1, alors a+b divise d, et donc d=k(a+b),ainsi les solutions de cette équation sont :

x=ka(a+b)
y=kb(a+b)
n=kab

ou gcd(a,b)=1et k un entier naturel positif. Donc donnez vous n'importe quel couple (a,b) premier entre eux et n'importe quel entier k, et vous aurez les couples x,y ainsi que n.


C'est la seule et unique générale caractérisation.

Cette solution par contre est bien rigoureuse. Bravo.