Classes de Congruences.

Problème:
Soit p un nombre premier. Soit S_n l'espace des matrices symmetriques de tailles n et à coefficients dans Z/Zp. Dénombrer les classes de congruences de S_n.
Note: Deux matrices A et B sont congruentes si il existe une matrice Q inversible t.q tQ*A*Q=B.

Si quelqu'un a des idées, qu'il soit libre de les discuter.

Indice 1:

Indice 2:

Indice 3:

Sujet: Re: Classes de Congruences. Dim 01 Sep 2013, 17:15

L'indice $Classes de Congruences. 356a192b7913b04c54574d18c28d46e6395428ab$ n'est autre qu'une reformulation du fait que dans un corps quelconque toute forme quadratique est diagonalisable, la démonstration n'est qu'une histoire de récurrence et d'hyperplans (une question de cours pour un élève de classes préparatoires).
Soit alors $Classes de Congruences. 22ea1c649c82946aa6e479e1ffd321e4a318b1b0$ une forme quadratique dans le corps $Classes de Congruences. 8914d0e4265d5686da8c2994651c9adf48ad197a$ , on peut trouver une base dans laquelle les coordonnées $Classes de Congruences. 17d23fdaeba9f12270a768434e8c00881b04dcf8$ d'un vecteur $Classes de Congruences. C032adc1ff629c9b66f22749ad667e6beadf144b$ dans cette base de $Classes de Congruences. 3ee9cf9145a8831a87123eef7ae91b485c0e78cb$ vérifient
$Classes de Congruences. 1dc675095a7b3e928e6f4c34dcfe825ab1b1a48d$ ,
et ce serait dès lors sympathique si l'on peut écrire les $Classes de Congruences. Ca7398c4971e89d0c4a886fbb586e4d4fc1e8a80$ comme des carrés, montrons par l'absurde que toute forme quadratique $Classes de Congruences. 22ea1c649c82946aa6e479e1ffd321e4a318b1b0$ de rang $Classes de Congruences. 4dc7c9ec434ed06502767136789763ec11d2c4b7$ vérifie dans une base bien choisie $Classes de Congruences. 1caadbfdb4fa9837951245c0557eb213d76f28e4$ où $Classes de Congruences. 86f95d726ed9e0ec65da2b8bcf778d34a2d3505e$ ou n'est pas un carré, prenons une forme quadratique $Classes de Congruences. 22ea1c649c82946aa6e479e1ffd321e4a318b1b0$ de rang $Classes de Congruences. 4dc7c9ec434ed06502767136789763ec11d2c4b7$ qui ne vérifie pas cette propriété on peut donc trouver une base dans laquelle on peut écrire $Classes de Congruences. 05080807b4c40c7924c8682eecd7dd520a4e0a6f$ , $Classes de Congruences. 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759$ est désormais choisi maximal et les $Classes de Congruences. F98b4ac0120e218028c5d809388178aaf1365e2d$ ne sont pas des carrés, il est clair que l'espace $Classes de Congruences. C9ee5681d3c59f7541c27a38b67edf46259e187b$ définie par $Classes de Congruences. 1af82245b7063b47c2106f086a0f839f24cc22c5$ est de dimension supérieure ou égale à $Classes de Congruences. Da4b9237bacccdf19c0760cab7aec4a8359010b0$ , considérons alors les ensembles $Classes de Congruences. 92fac8d0f865221f41b0fffcd3f27ac03a112de5$ et $Classes de Congruences. 238fb9d39e50c7eb95823b9eca290a71372460e2$ ,on peut facilement montrer que ces ensembles sont de cardinal égal à $Classes de Congruences. A896761a03d693da803b2f96bf3fdda3fa04f3ef$ , de telle sorte que $Classes de Congruences. Ad284457db8824499c766d9421e3cfe1d97d0292$ , donc il existe $Classes de Congruences. C032adc1ff629c9b66f22749ad667e6beadf144b$ et $Classes de Congruences. 23eb4d3f4155395a74e9d534f97ff4c1908f5aac$ dans $Classes de Congruences. 8914d0e4265d5686da8c2994651c9adf48ad197a$ tels que $Classes de Congruences. 47a3eec8ffcf7179cffc55ed4c44ed48ba2875de$ , le vecteur $Classes de Congruences. 9044789362370add0c09f68e047e770453be3c81$ est donc un vecteur non nul de l'espace $Classes de Congruences. C9ee5681d3c59f7541c27a38b67edf46259e187b$ on peut donc le compléter en une base orthogonale pour $Classes de Congruences. 22ea1c649c82946aa6e479e1ffd321e4a318b1b0$ et on vient donc de trouver une base dans laquelle $Classes de Congruences. 22ea1c649c82946aa6e479e1ffd321e4a318b1b0$ vérifie $Classes de Congruences. 760cd8a50dedda2e179debecdf085d2a77206ecf$ , ce qui contredit la maximalité de $Classes de Congruences. 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759$ , donc l'hypothèse de l'absurde est fausse, et la matrice de toute forme quadratique dans la base canonique est congruente à $Classes de Congruences. 40d4de7f9a8923cd12b685fa4d38807d02c147eb$ où $Classes de Congruences. 86f95d726ed9e0ec65da2b8bcf778d34a2d3505e$ ou n'est pas un carré, s'il n'est pas un carré alors la classe de $Classes de Congruences. 40d4de7f9a8923cd12b685fa4d38807d02c147eb$ et de la matrice identité de rang $Classes de Congruences. 4dc7c9ec434ed06502767136789763ec11d2c4b7$ sont distinctes, en effet si la matrice $Classes de Congruences. 1219dae4f55dae93f07e6700a66362b82e77cb31$ est congruente à $Classes de Congruences. 40d4de7f9a8923cd12b685fa4d38807d02c147eb$ , alors il existe une matrice inversible $Classes de Congruences. B77b30e4b92c05330ce2f8af624de907328a5010$ telle que $Classes de Congruences. B08a36acbaa8b5d930dc49918224d91ed7d87586$ donc $Classes de Congruences. B58b5a65cd83a33b62c75968c31f9ea17b958505$ ce qui est faux. Regardons maintenant les autres classes possibles, l'ensemble des carrés étant de cardinal $Classes de Congruences. A896761a03d693da803b2f96bf3fdda3fa04f3ef$ les non carrés sont donc les éléments distincts de l'ensemble $Classes de Congruences. 7d07d0fa38ca057c524bcdfa059f28094a1a1fd5$ si $Classes de Congruences. B64244d4b91c2f1738b8b84d6883f4d5736693e7$ et $Classes de Congruences. F4c935cad8d12bacf865360c4434a1c8d8b88f59$ sont deux éléments de cet ensemble on peut trouver $Classes de Congruences. A0f1490a20d0211c997b44bc357e1972deab8ae3$ tel que $Classes de Congruences. 83b460e5cecc60be5269698981d39a32f8dc84d5$ , si bien que l'on peut changer le $Classes de Congruences. 552712d3e06c489c9c369d66e375ce87432d52f4$ en $Classes de Congruences. Af00664ccad9a8b46b60350f7088951af689ed35$ donc les matrices diagonaux ayant le même rang qui commencent par des 1 et qui finissent avec un non carré appartiennent à la même classe de congruence, finalement pour chaque rang non nul ( d'une matrice symétrique) il existe deux classes possibles, soit finalement $Classes de Congruences. D8693e0082d383fc163f35b23db530882eccfded$ classes de congruences $Classes de Congruences. 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5$

Sujet: Re: Classes de Congruences. Dim 06 Oct 2013, 01:26

Salam Vz!
Bien vue!
Même en saisissant la situation de ce problème, ça reste non triviale de vérifier toutes les étapes et démontrer ce qu'il doit être démontrer.

Mon professeur nous a proposé cette question lors d'un DM dans le cas où n=3 et p=7, mais j'ai vue dès lors qu'on peut le généraliser pour n'importe quel couple (n,p) dans INxIP.

P.S: Ayant résolu mon exercice, je te propose de voir un autre exercice proposé par un ami, aussi amusant: https://mathsmaroc.jeun.fr/t20320-calcul-d-une-somme#170079