MohE
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 | | Sujet: Classes de Congruences. Mer 31 Juil 2013, 07:38 | |
| Problème:
Soit p un nombre premier. Soit S_n l'espace des matrices symmetriques de tailles n et à coefficients dans Z/Zp. Dénombrer les classes de congruences de S_n.
Note: Deux matrices A et B sont congruentes si il existe une matrice Q inversible t.q tQ*A*Q=B. | |
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MohE
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| | Sujet: Re: Classes de Congruences. Dim 04 Aoû 2013, 03:19 | |
| Si quelqu'un a des idées, qu'il soit libre de les discuter. - Indice 1:
Montrer que dans un corps F , une matrice symmétrique est congruent à une matrice diagonale
- Indice 2:
Voir une matrice diagonale comme la matrice d'une forme bilinéaire dans une base fixé. S'inspirer du théorème de Sylvestre pour simplifier les matrices diagonales.
- Indice 3:
Vous avez fait la moitié de la preuve.
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Vz
Féru
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| | Sujet: Re: Classes de Congruences. Dim 01 Sep 2013, 17:15 | |
| L'indice  n'est autre qu'une reformulation du fait que dans un corps quelconque toute forme quadratique est diagonalisable, la démonstration n'est qu'une histoire de récurrence et d'hyperplans (une question de cours pour un élève de classes préparatoires).
Soit alors  une forme quadratique dans le corps  , on peut trouver une base dans laquelle les coordonnées  d'un vecteur  dans cette base de  vérifient
 ,
et ce serait dès lors sympathique si l'on peut écrire les  comme des carrés, montrons par l'absurde que toute forme quadratique de rang  vérifie dans une base bien choisie  où  ou n'est pas un carré, prenons une forme quadratique de rang qui ne vérifie pas cette propriété on peut donc trouver une base dans laquelle on peut écrire  ,  est désormais choisi maximal et les  ne sont pas des carrés, il est clair que l'espace  définie par  est de dimension supérieure ou égale à  , considérons alors les ensembles  et  ,on peut facilement montrer que ces ensembles sont de cardinal égal à  , de telle sorte que  , donc il existe et  dans tels que  , le vecteur  est donc un vecteur non nul de l'espace on peut donc le compléter en une base orthogonale pour et on vient donc de trouver une base dans laquelle vérifie  , ce qui contredit la maximalité de , donc l'hypothèse de l'absurde est fausse, et la matrice de toute forme quadratique dans la base canonique est congruente à  où ou n'est pas un carré, s'il n'est pas un carré alors la classe de et de la matrice identité de rang sont distinctes, en effet si la matrice  est congruente à , alors il existe une matrice inversible  telle que  donc  ce qui est faux. Regardons maintenant les autres classes possibles, l'ensemble des carrés étant de cardinal les non carrés sont donc les éléments distincts de l'ensemble  si  et  sont deux éléments de cet ensemble on peut trouver  tel que  , si bien que l'on peut changer le  en  donc les matrices diagonaux ayant le même rang qui commencent par des 1 et qui finissent avec un non carré appartiennent à la même classe de congruence, finalement pour chaque rang non nul ( d'une matrice symétrique) il existe deux classes possibles, soit finalement  classes de congruences  |
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MohE
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| | Sujet: Re: Classes de Congruences. Dim 06 Oct 2013, 01:26 | |
| Salam Vz! Bien vue! Même en saisissant la situation de ce problème, ça reste non triviale de vérifier toutes les étapes et démontrer ce qu'il doit être démontrer. Mon professeur nous a proposé cette question lors d'un DM dans le cas où n=3 et p=7, mais j'ai vue dès lors qu'on peut le généraliser pour n'importe quel couple (n,p) dans INxIP. P.S: Ayant résolu mon exercice, je te propose de voir un autre exercice proposé par un ami, aussi amusant: https://mathsmaroc.jeun.fr/t20320-calcul-d-une-somme#170079 | |
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| | Sujet: Re: Classes de Congruences. | |
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