moyenne des puissances

Soit f:[0,1] ---> ]0,+00[ continue strictement décroissante
Pour tout n dans N*, soit x_n de [0,1] tel que f^n(x_n)=int(0 à 1) f^n(t)dt.
Trouver la limite de la suite (x_n)?

bonjour, comme idée f(x_n) = ||f||_n et puisque ||f||_n --(n->+oo)--> sup{f(x) ; x £ [0,1]} et f est continue et strictement décroissante alors sup f = f(0) d'où f(x_n) ---> f(0) et grace à la continuité de f x_n --->0.

CQFD

L'idée est bonne en passant aux normes mais ||f||_n =(int(0 à 1) f^n(t)dt)^(1/n)
Alors f(x_n) ^(1/n)= ||f||_n ---> sup{f(x) ; x £ [0,1]}= f(0) résultat bien connu

Ceci ==/==> f(x_n) ---> f(0) !!!
A revoir

abdelbaki.attioui a écrit:

L'idée est bonne en passant aux normes mais  ||f||_n =(int(0 à 1) f^n(t)dt)^(1/n)
Alors  f(x_n) ^(1/n)= ||f||_n --->  sup{f(x) ; x £ [0,1]}= f(0)  résultat bien connu

Ceci ==/==> f(x_n) ---> f(0) !!!
A revoir

Bonjour, d'après l'énoncé que vous avez posé:

Abdelbaki Attioui a écrit:

Soit f:[0,1] ---> ]0,+00[ continue strictement décroissante
Pour tout n dans N*, soit x_n de [0,1] tel que f^n(x_n)=int(0 à 1) f^n(t)dt.
Trouver la limite de la suite (x_n)?

on remarque que f(x_n) = ||f||_n ce n'est pas que vous avez écris et en conséquence ma réponse reste correcte

Par définition ||f||_n =(int(0 à 1) |f(t)|^n dt)^(1/n) c'est la norme L_n
on sait que ||f||_n --->||f||_+00

abdelbaki.attioui a écrit:

Par définition ||f||_n =(int(0 à 1) |f(t)|^n dt)^(1/n) c'est la norme L_n
on sait  que ||f||_n --->||f||_+00

Oui et on sait que ||f||_{+ oo} = sup{|f(x)| , x £ [0,1]} et d'après l'énoncé que vous avez cité on a f^n(x_n) = int(0 à 1) f^n(t)dt donc f(x_n) = (int(0 à 1) f^n(t) dt)^(1/n) = ||f||_n ---> sup{f(x) , x £ [0,1]} = f(0) c'est à dire f(x_n) --> f(0) et d'après les conditions sur f on déduit que x_n ---> 0.


PS: si f est continue et strictement croissante sur [0,1] on aura x_n---> 1...

mathema a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

Par définition ||f||_n =(int(0 à 1) |f(t)|^n dt)^(1/n) c'est la norme L_n
on sait  que ||f||_n --->||f||_+00

Oui et on sait que ||f||_{+ oo} = sup{|f(x)| , x £ [0,1]} et d'après l'énoncé que vous avez cité on a f^n(x_n) = int(0 à 1) f^n(t)dt donc f(x_n) = (int(0 à 1) f^n(t) dt)^(1/n) = ||f||_n ---> sup{f(x) , x £ [0,1]} = f(0) c'est à dire f(x_n) --> f(0) et d'après les conditions sur f on déduit que x_n ---> 0.


PS: si f est continue et strictement croissante sur [0,1] on aura x_n---> 1...

Bien vu