Bijection.

Bonsoir,
Démontrer que toute bijection f : lR --> lR+, a une infinité de points de discontinuité.

Il parait qu'il y a quelque chose qui ne vas pas dans l'enonce car la fonction exp satisfait les conditions mais elle est continue.

aymas a écrit:

Il parait qu'il y a quelque chose qui ne vas pas dans l'enonce car la fonction exp satisfait les conditions mais elle est continue.

exp n'est pas une bijection car 0 n'a pas d'antécedant.

Mohammed_Lahlou a écrit:

Bonsoir,
Démontrer que toute bijection  f : lR --> lR+, a une infinité de points de discontinuité.

Joli exercice !

Soit A={x dans IR / f est discontinue en x}
Soit a l'unique réel : f(a)=0

Si A est vide, alors f est continue sur IR et comme elle est injective alors f est strictement monotone.
si f croissante ==> f(x)=0 qqs x<a, absurde avec f surjective
de même si f décroissante ==> f(x)=0 qqs x>a, absurde avec f surjective

Si A fini, A={a1,a2,...,an} avec a1<a2<...<an,
f est continue sur ]-00,a1[, ]a1,a2[,..., ]an,+00[ et injective ===> f est strictement monotone sur chacun de ces intervalles
La surjectivité ==> f à la même monotonie sur chacun de ces intervalles
(par récurrence : commencer par exemple par ]-00,a1[ puis remarquer que la monotonie devait être le même sur deux intervalles consécutifs)
On termine alors comme le 1er cas