Soit f(x,y,z)= (1+xyz)/(x(1+y))+(1+xyz)/(y(1+z)) +(1+xyz)/(z(1+x))
f est C00 sur l'ouvert U={(x,y,z) /x,y,z>0 }
f(x,y,z)= 1/x(1+y)+yz/(1+y)+1/y(1+z)+xz/(1+z) +1/z(1+x)+xy/(1+x)
(x,y,z) point critique de f si :
df/dx = -1/x²(1+y)+z/(1+z)-1/z(1+x)²+y/(1+x)²=0
df/dy = -1/x(1+y)²+z/(1+y)²-1/y²(1+z)+x/(1+x)=0
df/dz = y/(1+y)-1/y(1+z)²+x/(1+z)²-1/z²(1+x)=0
(1,1,1) est une solution
f(1;1;1)=3
d²f/dx² = ?
d²f/dy² = ?
d²f/dz² = ?
d²f/dxdy = ?
d²f/dxdz = ?
d²f/dydz = ?
==> La hessienne est définie négative ==> 3 est minimum
Une généralisation possible: x=produit de x1, ...,xn >0
1/(x1(1+x2))+1/(x2(1+x3))+... +1 /(xn(1+x1)) >=n/(1+x)
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