saisir les théorémes

A fin de bien saisir les théorèmes et bien les manipuler je propose de lancer un sujet consacré aux TH est ses applications.
On va traiter les théorèmes une par une.Chacune va prendre au maximum 3 jours.
pour commencer je préfère celle de l'inégalité triangulaire
comme EXO 1
montrer pour tous réels a,b
llal-lbll=<la-bl=<lal+lbl (c'est facile)
celui qui répond qu'il poste un exercice de l'inégalité triangulaire.

Exo 2: (C'est aussi facile)
Montrer que:

Determinez le cas d'égalité

REPONSE EXO 2
le fait c'est de constater ( a partir de exercice 1) que lal+lbl>=la-bl
alors lx+yl+lx+1l+ly+1l>=l1-yl+ly+1l>=2

cas d'égalité lorsque (x=1 et y=-1) ou (x=-1 et y=1)

EXO 3
soient a.b.c les longueurs d'un triangle tels que a^2+b^2>5c^2
prouver que c est la plus petite longueur de ce triangle.

c'est ça.A toi de poster un exo d'inégalité triangulaire.

Réponse exo 4
(c>a)----(2ac>2a^2) et (c>b)-----(2bc>2b^2)et(c^>b^2)et(b>a)---(2ab>a^2)
en sommant on va avoir
c^2+2ac+2ab+2bc>3a^2+3b^2
ce qui donne
(a+b+c)^2>4(a^2+b^2)

exo 5
x,y des réels monter que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20x&plus;y%20%5Cright%20%7C%7D%7B1&plus;%5Cleft%20%7C%20x&plus;y%20%5Cright%20%7C%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7Cx%20%5Cright%20%7C%7D%7B1&plus;%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C%7D&plus;%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20y%20%5Cright%20%7C%7D%7B1&plus;%5Cleft%20%7Cy%20%5Cright%20%7C%7D

L-W-P a écrit:

Réponse exo 4
(c>a)----(2ac>2a^2) et (c>b)-----(2ac>2b^2)et(c^>b^2)et(b>a)---(2ab>a^2)
en sommant on va avoir
c^2+2ac+2ab+2bc>3a^2+3b^2
ce qui donne
(a+b+c)^2>4(a^2+b^2)

Pourquoi 2ac> 2b^2 ??

Ahmed Taha a écrit:

L-W-P a écrit:

Réponse exo 4
(c>a)----(2ac>2a^2) et (c>b)-----(2ac>2b^2)et(c^>b^2)et(b>a)---(2ab>a^2)
en sommant on va avoir
c^2+2ac+2ab+2bc>3a^2+3b^2
ce qui donne
(a+b+c)^2>4(a^2+b^2)

Pourquoi 2ac> 2b^2 ??

c'est 2bc>2b^2
PS: faute de frappe

quelqu'un poste un exo dans l'inégalité triangulaire.

j'ai procedé ainsi
lab-cl = 3 <==> (ab)² + c² = 3 + 2abc > 0 ==> abc >= -3/2
On applique I.A.G : (a²+b²+c²) >= (3v)a²b²c² >= 3v(9/4) (3v) = racine troisiéme
mais je pense que abc doit etre positive :/
sinon quand abc < 0 j'ai trouvé que la plus petite valeure est 9

M. Ahmed TAHA a proposé l'exercice suivant:
Soient a,b et c trois réels tels que : |ab−c|= 3. Trouver la plus petite valeur de l'expression a²+b²+c².

Voici une tentative de résolution de cet exercice:

       |ab-c| = 3 <--> (ab-c = 3 ou ab-c = -3) <--> (c=ab-3 ou c=ab+3)
<--> c^2 = a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou c^2 = a^2 b^2 + 9 + 6 ab,
donc a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 + 6 ab .

Comme a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 > 0 , donc dans le contexte de la recherche de la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2, on doit opter pour une valeur de (6 ab) ou (-6 ab) qui minimise a^2 + b^2 + c^2, donc on doit avoir (6 ab = - 6 |a| |b| ou - 6 ab = - 6 |a| |b|), donc dans les deux cas on a:

a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 - 6 |a||b| = (|a|-|b|)^2 + (|a||b| - 2)^2 + 5, expression qui est minimale quand elle est égale à 5, mais à condition que le système (|a|-|b|=0 et |a||b| - 2 = 0) soit solvable.
On a |a|-|b|= 0 et |a||b| - 2 = 0 <--> |a|= |b| et |a||b| = a^2 = 2 <--> |a|= |b| et |a| = 2^(1/2), donc le système est solvable, et par conséquent la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= 3 est 5.

Cette démonstration - si elle exempte d'erreurs - est très longue, et je suis sûr que M. Ahmed TAHA a une solution très élégante à nous proposer.
A propos, je le félicite pour la merveilleuse démonstration de l'exercice 5: l'astuce utilisé m'a permis de résoudre plusieurs exercices qui me tracassaient.

En relisant ma démonstration, j'ai trouvé qu' il était préférable d' y introduire quelques modifications comme suit:
|ab-c| = 3 <--> (ab-c = 3 ou ab-c = -3) <--> (c=ab-3 ou c=ab+3)
<--> c^2 = a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou c^2 = a^2 b^2 + 9 + 6 ab,
donc a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 + 6 ab
<--> a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 + b^2 - 2 ab) + (a^2 b^2 + 4 - 4 ab) + 5 ou a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 + b^2 + 2 ab) + (a^2 b^2 + 4 + 4 ab) + 5
<--> a^2 + b^2 + c^2 = (a - b)^2 + (ab - 2)^2 + 5 ou a^2 + b^2 + c^2 = (a + b)^2 + (ab + 2)^2 + 5
donc dans les deux cas, la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= 3 est 5.

On peut généraliser cette méthode pour k >= 1/2 qui donne que la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= k est (2k - 1).
Pour k = 0, on a (ab = c) et la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= 0 est 0.

J’espère que c'est juste.

Passant maintenant à une deuxième théorème celle de HÖLDER (Cauchy Schwartz)
comme exo 1
k et n sont de N , montrer que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7Bi%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7B6n%7D%7B%28n&plus;1%29%282n&plus;1%29%7D
celui qui répond qu'il poste un exercice dans cette théorème.

Permettez-moi de penser qu' il s'agit de "sigma 1/k^2" et non de "sigma 1/k".

oui c'est ça pardon pour cette faute.

voila a toi de poster