saisir les théorémes

aymanemaysae a écrit:

M. L-W-P m'a conseillé de poster cet exercice ici: je l'avais posté par erreur dans un autre contexte.

voici ma solution
l'inégalité est homogène


cette fois Je n'ai pas trouvé une bon méthode

Un Maître reste toujours un Maître. Votre solution est un cours riche d'astuces et d'un niveau technique élevé: je ne peux qu'en vous remercier.
La solution que je propose et que j'ai trouvée dans la même page que l'exercice en question,est certes succincte mais n'est pas très instructive:

Merci.

Je ne comprends pas le passage où on a appliqué Caushy Shwartz

aymanemaysae a écrit:

Un Maître reste toujours un Maître. Votre solution est un cours riche d'astuces et d'un niveau technique élevé: je ne peux qu'en vous remercier.
La solution que je propose et que j'ai trouvée dans la même page que l'exercice en question,est certes succincte mais n'est pas très instructive:

Merci.

Merci bcp Mr aymanemaysae c une bonne solution

Sketshup a écrit:

Je ne comprends pas le passage où on a appliqué Caushy Shwartz

il y a une autre généralisation de Holder

prend n=2,k=1,a_1=a,a_2=b,b_1=a²+c² et b_2=b²+c² ...

Oh oui! Merci!!

Pose un nouveau exo , merci

MQ
Pour tout a,b et c £ (R*+)^3

Multiplier les 3 termes par le même dénominateur, produis en croix, simplifier.

On en vient à (SOMME Sym) a²b >= 6abc, qui est une application directe de AM-GM.

Peu élégante, mais cette méthode d'attaque m'a parut plus simple.


Mon post:

Je prends le droit de changer un peu des inégalités. Place à un peu d'arithmétique!

Résoudre l'équations diophantienne suivante (échauffement nocturne):

a^3 + 2b^3 = 4c^3

En réponse à l'exercice de M. Lonely Guy, je propose la solution suivante: si elle est juste, je proposerai un exercice pour saisir un théorème que je vous laisse l'honneur de choisir:

Sketshup a écrit:

Mon post:
Résoudre l'équations diophantienne suivante (échauffement nocturne):

a^3 + 2b^3 = 4c^3

La seule solution est (0.0.0) ??! (descente infinie)

Lonely.Guy a écrit:

MQ
Pour tout a,b et c £ (R*+)^3

voici une autre solution :
selon Caushy

on a

alors

Sketshup a écrit:

Résoudre l'équations diophantienne suivante (échauffement nocturne):

a^3 + 2b^3 = 4c^3

si d=pgcd(a,b) alors d|c et le même résultat pour les autre

donc pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=pgcd(b,c)=pgcd(a,b,c)=d

pour d=0 on trouve S={(0,0,0)}

pour d=/=0 posons a=dx,b=dy et c=dz avec pgcd(x,y)=pgcd(x,z)=pgcd(y,z)=1

on a x^3+2y^3=4z^3 alors x^3=2(2z^3-y^3) donc 2|x^3 => 2|x (*) => il existe k / x=2k

alors 4k^3=2z^3-y^3 => y^3=2(z^3-2k^3)=>2|x^3 => 2|y (**)

après les deux relations on trouve que pgcd(x,y)=/=1 contradiction

alors (0,0,0) est la seul solution.

Une autre solution qui utilise le principe de la descente infinie,est comme suit:

Cas n° 1: Soient a,b et c des entiers naturels non nuls.
a^3 + 2 b^3 = 4 c^3 induit que a = 2 A (A entier naturel tel que A < a),
donc 8 A^3 + 2 b^3 = 4 c^3, donc 4 A^3 + b^3 = 2 c^3 qui induit que b = 2 B (B entier naturel tel que B < b),
donc 4 A^3 + 8 B^3 = 2 c^3, donc 2 A^3 + 4 B^3 = c^3 qui induit aussi que c = 2 C (C entier naturel tel que C < c),
donc 2 A^3 + 4 B^3 = 8 C^3, donc A^3 + 2 B^3 = 4 C^3 : équation de la même forme que a^3 + 2 b^3 = 4 c^3
avec A < a, B < b et C < c, donc par le principe de la descente infinie, cette équation n'admet pas de solution
tel que (a;b;c) un triplet de IN* x IN* x IN* .

Cas n° 2: Soient a, b et c des entiers naturels dont au moins un est nul (abc = 0).
L'équation s'écrit donc sous l'une des formes suivantes: b^3 = 2 c^3 ou a^3 = 4 c^3 ou
a^3 + 2 b^3 = 0, ce qui donne toujours une solution triviale (a;b;c) = (0;0;0) .

Pour ne pas rester passif, voici un petit exercice qui est un cas particulier d'un cas plus général:
c'est un exercice que j'appelle "Le Colosse aux pieds d'argile" car il contient de grands
nombres, mais dont l'astuce pour le résoudre est simple.

Montrer que 10001^10001 + 10001^401 peut s'écrire sous la forme
de deux carrés parfaits.