Une propriété des polynômes complexes

Bonjour ,

Soit P un polynôme unitaire de C[X] , montrer qu'il existe au moins un nombre complexe z de module 1 tel que |P(z)| >= 1     bonne chance !

on pose P=x^n+sum(a_k*x^k,k=0..n-1)
on pose f(t)=P(exp(it)) on a par parseval 1/2pi*int(|f(t)|^2,t=0..2pi)>=1 donc il existe c dans [0,2pi] tq 1/2pi*int(|f(t)|^2,t=0..pi)=|f(c)|^2 d'ou le resultat.

OK !

je vais raffiner un peu   

montrer qu'il existe au moins une racine de l'unité z telle que |P(z)| >= 1   bonne chance !

ben en utilisant les notation precedente si tout les ai valent 0 alors P=X^n le probleme est resolu sinon si il existe k tq a_k est diff de 0 alors |f(c)|>1 (strictement) donc |P(exp(ic))|=1+a a>0 vu que l'ensemble des racine de l'unite est dense dans U alors il existe z_n une suite de racine de l'unite qui converge vers exp(ic) P est polnomial donc continue donc il existe n_0 tel que |P(exp(ic))-P(z_{n_0})|<a d'ou le resultat...

OK !

je vais encore raffiner un peu   

je note d = deg(P) , montrer qu'il existe au moins une racine 2d-ième de l'unité z telle que |P(z)| >= 1     bonne chance !

ok cette fois ci ca change tout
toujours avec les notations precedente notons de plus w=exp(i*pi/d)
raisonnons par l'absurde et supposons que pour tout j dans [0,2d-1] |P(w^j)|<1
donc puisque |P(w^j)|=|(-1)^j+sum(k=0...d-1)ak*w^kj|=|1+sum(k=0...d-1)ak*exp(i*kjpi/d+i*jpi)|
|sum(1+sum(k=0...d-1)ak*exp(i*kjpi/d+i*jpi),j=0...2d-1)=2d<sum(|P(w^j)|,j=0..2d-1)<2d contradition.

OK !