caractérisation de fonction

trouver toute les fonction de R dans R qui préservent la longueur des intervalles. BONNE CHANCE

Je ne sais pas si mon raisonnement est correct ni si j'ai le niveau suffisant pour aborder ce sujet, mais voici mes idées à son propos.
f préserve la longueur des intervalles veut dire que |f(a)-f(b)|=|a-b| pour tous a et b de R².
Ce qui implique si a différent de b |(f(a)-f(b))/(a-b)|=1 . Ceci veut dire que:
lim(a->b)|(f(a)-f(b))/(a-b)|=1 Ainsi f est dérivale en tout point de R et pour tout x de R f'(x)=1 ou f'(x)=-1.
Je ne sais comment mais on doit aboutir à f(x)=x+c ou f(x)=-x+c.
Si mon raisonnement est correct, veuillez me le signaler pour que je cherche plus
Amicalement,

c'est tres bien mais il y a un petit quelque chose qu'il faudra quand meme justfier car preserver la longueur veut plutot dire que f([a,a+h])=[x,x+h] a priori on ne voit pas pourquoi f(a)=x ou f(a)=x+h mais c'est vrai avec un petit argument on se ramene a ce que vous avez dit.
mais bien joue

Bonjour ,
Vous ne pouvez pas déduire que f est dérivable en a du fait que |f(x)-f(a)/(x-a)| admette une limite en a.
Par exemple si f est la fonction qui associe à chaque x associe |x| , pour a = 0 , alors |f(x)/x| = |x|/|x| = 1 donc le taux d'accroissement en valeur absolue tend bien vers 1 , sans que f soit dérivable en 0 !!

Il faudrait plutôt raisonner par l'absurde : prendre trois points distincts x , y ,z et supposer que f(x) - f(y) = x-y ; f(x) - f(z) = z-x.
On aboutit facilement à l'absurdité x = z ou x = y

oui mais c'est toujours pas ca le probleme. le probleme serait de prouver que reelement |f(x)-f(y)|=|x-y| voila le probleme (d'ailleurs assez simple) apres c 'est pas grave le probleme est resolu

Bonjour , exercice intéressant !

Pour I partie non vide bornée de IR je note L(I) = sup I - inf I sa longueur .

:Star:soient x et y deux réels tels que x < y ,

les deux réels f(x) et f(y) appartiennent à l'ensemble f([x,y]) qui a par hypothèse la même longueur que [x,y]

on a donc |f(x) - f(y)| =< L(f([x,y])) = y - x

et f est alors 1- Lipschitzienne et en particulier continue .

 soient x et y deux réels tels que x < y  et x1 , x2 deux éléments de [x,y] tels que f([x,y]) = [f(x1),f(x2)]

on a donc y - x = f(x2) - f(x1) =< |x1 - x2| =< y - x

et donc |x1 - x2| = y - x , c'est à dire ,  y - x = x1 - x2  si x1 > x2 , ou , y - x = x2 - x1  sinon

dans le premier cas , le réel y - x1 = x - x2 serait à la fois positif et négatif et donc nul , ce qui donne x = x2 et y = x1

et dans le second , le réel y - x2 = x - x1 serait à la fois positif et négatif et donc nul , ce qui donne x = x1 et y = x2

et dans les deux cas on a , |f(x) - f(y)| = y - x .   le reste est facile comme a dit Galilée

c'est ca l'idee bien joue monsieur abdelali !