Concour Pr les intéressés !

dans ce silence : je veux propose cette DS à tous les étudiants et surtout pour les premiers qui ont la curiosité insistante a réviser tous les leçons du programme (voilà notre DS du concours scientifiques ) bonne chance  


Exo 1  (3pts)
On considére l'équation suivant :  


1) Montrer si x est solution de (E) alors  et 


2)Résourdre  l'eq (E) dans l'interval (0,pi) 


Exo 2(3.5 pts)


On considére deux fonctions f et g définies par :  et 
1) tracer dans la meme repére (Cf) et (Cg)
2) Montrer que l'eq  admait un seul solution 
3) Montrer que  et 

Exo 3 (3.5 pts) 
 une suite tel que pour tout  :  et 

1) Montrer que  Pour tout n £ IN we have :  et 

2) étudier la monotonie de (Vn)
3) Monter que :   Pour tout n £ IN , puis conclu que  

4) Déterminer  en fonction de n puis conclu que : 

Exo 4 (4pts)


On considére les deux ensembles  avc k £ Z  et  avc k £ Z 




1) Monter que  £ 


2) soient x et y deux entiers relatifs : MQ : 


3) MQ : 


4) Déterminez 
Exo 5 (6pts)


On considére la fonction f définie sur R et qui vérifiée la relation suivante :




1) Déterminez les fonctions constantes qui vérifient cette relation 
2) MQ :  alors f est constante 
3) Supposons que f est n'est pas constante 
a/ MQ : 


b/ MQ : f(0)=0 puis conclu que f est impaire 


c/ Soit x de R  MQ : 




d/ Concluee que   pour tt n £ N tel que : 


puis   


fin    

Exo 5:
si f=c et f solution, alors c=2c/1+c² => c(c-1)(c+1)=0 => c=0 et c=1 et c=-1
On vérifie et on voit qu'elle sont solution
2)  on montre que f est constante , on f(x)=f((x-a)+a) = (f(x-a)+f(a))/1+f(x-a) =+ ou -1
alors f constante
3) |f(x)|=|f(x/2 + x/2 )| =|(2f(x/2)/1+f²(x/2) )| =< 1 cqfd
4) on prend x=y=0 => f(0)=0
on prend y=-x => 0=f(x)+f(-x) => f impair
c)
Voici ce que j'ai trouvé, pour la question d/ est-ce que b=1+f(1)/1-f(1)  ?
Les autres exos, je pense , sont à la portée .

Oui c just une faute de frappes ^^

c'est un examen à la portée, mais il est joli.
je me demande si tout le monde a passé ce concours, car on a pas en cours fait la deuxième étape.