- belgacem a écrit:
- résoudre dans R l'equation: ArcSin(x)+Arcsin(x/2)=pi/2
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BSR belgacem
J' ai dû la faire plusieurs fois en 1ère Année du DEUG Maths-Physique en Faculté des Sciences ....
On travaille ainsi ....
Soit x une solution de ton équation , alors
On a toujours -1<=x<=1 donc à plus forte raison -1<=x/2<=1
Lorsque -1<=x<=0 alors ARCSIN(x) , ainsi que ARCSIN(x/2) sont dans l' intervalle [-PI/2,0]
Donc , On ne peut espérer de solutions de notre équation qui soit NEGATIVE ...
Cela étant :
ARCSIN(x)=(PI/2) - ARCSIN( x/2)
On prend le SIN(.) des deux membres pour obtenir :
x=SIN{(PI/2) - ARCSIN( x/2)}=COS{ARCSIN(x/2)}=rac{1-(x^2/4)}
On élève au carré pour obtenir :
x^2=1 - (x^2)/4 d'ou x^2=4/5
D' ou x= 2/rac(5) ou x=-2/rac(5)
En conclusion le Seul x de IR susceptible d' être Solution de l' équation initiale
est x=2/rac(5)
Il reste à le VERIFIER par calculs ....
On pose
u=ARCSIN(x)=ARCSIN(2/rac(5)) et v=ARCSIN(x/2)=ARCSIN(1/rac(5))
u et v sont tous les deux dans [0;PI/2] et sont COMPLEMENTAIRES puisque
Sin(u)=2/rac(5) et Cos(v)=rac{1- Sin^2(v)}=rac( 1-(1/5))
=rac(4/5)=2/rac(5) .
Amicalement . LHASSANE
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