Deux limites

Calculer
Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)^2 en zero
Lim (1/x^2)-1/sin^2(x) en zero

avec une methode autre que l hopital

voila une autre Calculer
Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)^2 en zero
Lim (1/x^2)-1/sin^2(x) en zero

Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de e^x - 1 est 1 + x + (x^2 )/2 - 1 + O(x^2) = x + (x^2 )/2 + O(x^2) ,
et le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de x e^x est x (1 + x + O(x)) = x + x^2 + O(x^2) ,
donc le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de e^x - 1 - x e^x est - (x^2)/2 + O(x^2) .

On a aussi le développement limité de (e^x - 1)^2 = x^2 + O(x^2) , donc le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de (e^x - 1 - x e^x)/(e^x - 1)^2 est -1/2 + O(x^2) .

Conclusion : quand x tend vers 0 , lim (e^x - 1 - x e^x)/(e^x - 1)^2 = lim -1/2 + O(x^2) = -1/2 .

Pour lim 1/x^2 - 1/(sin(x))^2 , on calcule d'abord le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 1 de (1/sin(x))^2 .
Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 1 de (1/sin(x))^2 est 1/x^2 + 1/3 + O(1), donc quand x tend vers 0, on a :
lim 1/x^2 - 1/(sin(x))^2 = lim 1/x^2 - 1/x^2 - 1/3 + O(1) = -1/3 .

merci pour la methode.
existe il une methode pour terminal

mat9ich a écrit:

voila une autre  Calculer
Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)^2 en zero

Niveau BAC  ( IPP: désigne intégration par partie)
Pour x non nul,
e^x-1 =int_0^x e^t dt
= [te^t]_0^x- int_0^x te^t dt,  par IPP
=xe^x- int_0^x te^t dt

(e^x-xe^x-1)/(e^x-1)²
=- int_0^x te^t dt/(e^x-1)²
=- int_0^x te^t dt/x².x²/(e^x-1)²

Il est bien connu que, Lim(x-->0) (e^x-1)/x=1 ( dérivée de exp en 0)
Alors, Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)² =- int_0^x te^t dt/x²
Encore par IPP
int_0^x te^t dt=[t²e^t/2]_0^x-  int_0^x t²e^t dt/2
=x²e^x/2-  int_0^x t²e^t dt/2

Mais,  pour -1<x<1, |int_0^x t²e^t dt|=< e int_0^x t² dt  car  e^t<e
==>  |int_0^x t²e^t dt|=< e |x|^3/3 ==> int_0^x t²e^t dt/x² -->0

Donc Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)² =-1/2

on pose u=e^x-1, x qcq <==> x=ln(1+u) , u>-1
(e^x-xe^x-1)/(e^x-1)²
=  (u-(u+1)ln(1+u) ) /u²
=  (u-ln(1+u) ) /u² - ln(1+u) /u

Pour t>-1  ,  1+t²=(1+t)(1-t)
==> 1/(1+t)=1-t-t²/(1+t)
==> ln(1+u)=u-u²/2 - int_0^u t²/(1+t) dt   par intégration

(u-ln(1+u) ) /u²= 1/2 + int_0^u t²/(1+t) dt/u²

|int_0^u t²/(1+t) dt|=<int_0^u t²/(1+t) dt=< |u|^3 /3(1-|u|)

==> lim  (u-ln(1+u) ) /u² - ln(1+u) /u=-1/2

Merci mr attioui pour la reppnse bonne methode mais avec l integrale c dure ppur un eleve qui na pas encor vu ce cours .en ce moment les eleves de terminal sont en cours de exponentielle. Merci encors une fois

Les DL vu autrement

Comme Lim(x-->0) (e^x-1)/x=1, il suffit de calculer Lim(x-->0) (e^x-1-x)/x²

On pose f(x)=e^x-1-x-x²/2 pour x dans R
pour tous x non nul,  d'après TAF ( je pense que c'est au programme de Bac)
il existe c strictement entre 0 et x tel que  f(x)-f(0)=xf'(c) <==> e^x-1-x-x²/2=x (e^c-1-c)

TAF  ==> il existe d entre 0 et c :   e^c-1-c=c(e^d-1)
==> e^x-1-x-x²/2=xc (e^d-1)
==> | e^x-1-x-x²/2|<x² (e^|x|-1)   car |c|<|x|  et |d|<|x|
==> Lim(x-->0) (e^x-1-x)/x²=1/2

De même pour l'autre limite
TAF==>  sin(x)-x+x^3/6=x(cos(c)-1+c²/2)  avec  c strictement entre 0 et x
TAF==>  cos(c)-1+c²/2=c (-sin(d)+d) avec  d strictement entre 0 et c
TAF==>  -sin(d)+d=d (-cos(e)+1)    avec  e strictement entre 0 et d
==>  sin(x)-x+x^3/6=xcd (-cos(e)+1)
==> |sin(x)-x+x^3/6|<[x|^3(1-cos(x))
==>  lim(x-->0)  (sin(x)-x)/x^3=-1/6 ===> g(x)=(sin(x)-x)/x^3+1/6 tend vers 0 qd x-->0
==>  sin(x)=x-x^3/6 +x^3 g(x)
==>  sin²(x)=x²-x^4/3 +x^4h(x)  avec h(x)-->0 qd x--->0

1/x²-1/sin²(x)= (sin²(x)-x²)/x²sin²(x)
= (-x^4/3 +x^4h(x))/(x²(x²-x^4/3 +x^4h(x)))
= (-1/3 +h(x))/(1-x²/3 +x²h(x))) ---> -1/3

Remarque: On a montrer que pour tout x dans R les inégalités:

| e^x-1-x-x²/2|=<x² (e^|x|-1)    et   |sin(x)-x+x^3/6|=<|x|^3(1-cos(x))

La méthode pour résoudre la deuxième limite avec le T.A.F est vraiment très ingénieuse: merci M. Abdelbaki, ça faisait plus d'une semaine que je cherchais à résoudre cet exercice avec les outils du terminal.

merci bonne methode