Bonjour M. Belgacem ;
Soit M un point de la parabole . Si M a pour abscisse "x" alors son ordonnée est "x²".
Le carré de la distance AM entre le point A(3;0) et un point M(x;x²) de la parabole est :
AM² = (x - 3)² + (x² - 0)² = x² - 6x + 9 + x^4 .
Soit f la fonction définie sur R , telle que pour tout x nombre réel , on a :
f(x) = x^4 + x² - 6x + 9 , cette fonction représente AM² .
Pour que AM soit minimale , cherchons le minimum de f .
On a : f ' (x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(2x^3 + x - 3) .
On a f ' (x) = 0 donc 2x^3 + x - 3 = 0 : cette équation a une racine évidente qui est "1" ,
donc on a : f ' (x) = (x - 1)(2x² + 2x + 3) par la division Euclidienne .
Comme le discriminant de 2x² + 2x + 3 est : 4 - 24 = - 20 < 0 donc 2x² + 2x + 3 garde le même signe sur R , et comme on a : 2 * 0² + 2 * 0 + 3 = 3 > 0 , donc 2x² + 2x + 3 est toujours strictement positive , donc f ' (x) est du signe de (x - 1) .
Le tableau de variation de f donne que le minimum de f est f(1) = 5 , donc le carré de la distance minimale AM est : AM² = 5 ,
donc la distance minimale AM est racine carrée de 5 .
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