les valeurs de x pour qu'un nombre a IN

Trouver tous les nombres réels x tels que :
Racine (7+x ) + Racine (7-x ) appartient a IN
​
​​

Bonjour ;

Soit f la fonction définie sur [- 7 ; 7] par : f(x) = racine(7 + x) + racine(7 - x) .
Cette fonction est paire , donc on peut l'étudier seulement sur : [0 ; 7] .

Sur [0 ; 7[ on a : f ' (x) = (racine(7 - x) - racine(7 + x))/(2racine(49 - x²)) =< 0 ,
donc f est strictement décroissante sur [0 ; 7 [ ,
donc f([0 ; 7]) = [racine(14) ; 2racine(7)] ,
donc les seuls nombres entiers naturels qui appartiennent à [racine(14) ; 2racine(7)]
sont 4 et 5 .

On résout les deux équations suivantes :
racine(7 + x) + racine(7 - x) = 4 et racine(7 + x) + racine(7 - x) = 5 .

La résolution de racine(7 + x) + racine(7 - x) = 4 donne : x = 4racine(3) ,
et celle de racine(7 + x) + racine(7 - x) = 5 donne 5/2 racine(3) .

Conclusion :

Comme f est paire donc l'ensemble des solutions est :
S = { - 4racine(3) ; - 5/2 racine(3) ; 5/2 racine(3) ; 4racine(3) } .