petite inégalité

Bonjour,

je voulais savoir si quelqu'un peut m'expliquer une inégalité qui ne devrait pas être compliqué mais j'arrive pas  à voir comment on y est parvenu :


avec x un scalaire positif et n est un entier naturel non nul.
merci d'avance

Bonjour;

Tout d'abord , si : 0 < x =< 1 alors max(1 ; x) = 1 et si 1 < x alors max(1 ; x) = x .

On a aussi : exp(ln(x)/n) = x^(1/n) .

Procédons par cas :

Si 0 < x =< 1 alors 0 < x^(1/n) =< 1 alors 0 < exp(ln(x)/n) =< max(1 ; n) .

Si 1 < x alors ln(x) > 0 .

On a : n >= 1 alors 0 < 1/n =< 1 alors 0 < 1/n ln(x) =< ln(x)
alors 1 < exp(ln(x)/n) =< x alors 1 < exp(ln(x)/n) =< max(1 ; x) .

l'exponentielle est une fonction croissante donc exp(ln(x) /n) <= exp(ln(x)) = x. Reste donc à montrer si x < 1 que x^(1 /n) <= 1 ...

je m'excuse de l'erreur d'implication de croissance que je corrige de suite car ln(x) /n > ln(x) pour certains.
je souhaite comparer n^(1 /n) et (1 /n)^(1 /n), avec 1. respectueusement