Entier naturel et Ln

x est un entier naturel non nul ; y est le nombre des
diviseurs de x .
Montrez que : Ln(x) ≥ y Ln(2)

a_1, a_2, a_3 ... a_y les diviseurs dans l'ordre croissant de x. Alors, quelque soit n entier entre 1 et y, a_n *a_(y -n +1)=x, donc a_1 *a_y *a_2 *a_(y -1) *a_3 *a_(y -2) ...a_y *a_1 = x^y <==> (a_1 *a_2 *a_3 ... *a_y)^(2 /y) = x. Aussi a_1 = 1 < a_2 < a_3 ... < a_y = x, par conséquent pour tout n entre 1 et y : n <= a_n <= x -(y -n). Donc, (y!)^(2 /y) <= x <= [x! /(x -y)!]^(2 /y) = [A(x ,x-y)]^(2 /y) = [y! *C(x ,x-y)]^(2 /y), mais (y!)^(2 /y) est inférieur à y^2. Rendez-vous au post suivant pour discuter de l'exactitude dequestion.

une meilleure majoration de a_i serait d'inverser a_i = x /a_(y -i +1) puisque a_n >= n; donc a_i <= x /(y -i +1).
D'ailleurs, pour x = 3, 6 ou 10, x < 2^y = 4 ou 16. Mais, montrer que x >= [E(y /2) +1] E[(y +1) /2] qui est supérieur ou égal à (y!)^(2 /y) dans les précédents cas.

naïl a écrit:

a_1, a_2, a_3 ... a_y les diviseurs dans l'ordre croissant de x. Alors, quelque soit n entier entre 1 et y, a_n *a_(y -n +1)=x, donc a_1 *a_y *a_2 *a_(y -1) *a_3 *a_(y -2) ...a_y *a_1 = x^y <==> (a_1 *a_2 *a_3 ... *a_y)^(2 /y) = x. Aussi a_1 = 1 < a_2 < a_3 ... < a_y = x, par conséquent pour tout n entre 1 et y : n <= a_n <= x -(y -n). Donc, (y!)^(2 /y) <= x <= [x! /(x -y)!]^(2 /y) = [A(x ,x-y)]^(2 /y) = [y! *C(x ,x-y)]^(2 /y), mais (y!)^(2 /y) est inférieur à y^2. Rendez-vous au post suivant pour discuter de l'exactitude dequestion.

naïl a écrit:

une meilleure majoration de a_i serait d'inverser a_i = x /a_(y -i +1) puisque a_n >= n; donc a_i <= x /(y -i +1).

Jusqu'ici, je ne comprenais pas là où tu veux en venir.

naïl a écrit:

D'ailleurs, pour x = 3, 6 ou 10, x < 2^y = 4 ou 16. Mais, montrer que x  >= [E(y /2) +1] E[(y +1) /2] qui est supérieur ou égal à (y!)^(2 /y) dans les précédents cas.

Ces contre-exemples, que tu as cité à la fin de tes messages, suffisent pour montrer qu'il y a un problème dans l'énoncé et qu'il faut le rectifier.
Je pense que belgacem a rectifié l'énoncé ici https://mathsmaroc.jeun.fr/t20870-entier-naturel-et-ln.

1. Montrer que y est pair si et seulement si x n'est pas le carré d'un entier, autrement écrit, un nombre naturel non nul n'est un carré parfait que si le nombre de ses diviseurs est impair.
2. Montrer que x est supęrieur à une fonction de y et de sa partie entière.