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 montrez...

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4 participants
AuteurMessage
belgacem
Maître



Masculin Nombre de messages : 112
Age : 59
Date d'inscription : 18/06/2012

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MessageSujet: montrez...   montrez... EmptyLun 08 Oct 2018, 08:26

montrez... Img14110
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nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
Age : 28
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

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MessageSujet: Re: montrez...   montrez... EmptyMer 10 Oct 2018, 20:53

belgacem a écrit:
montrez... Img14110
Je vais faire une démonstration en deux étapes:
*) Tout d'abord, nous allons montrons que montrez... Gif.
On a d'après l'inégalité arithmético-géométrique: montrez... Gif.
Or, montrez... Gif, donc: montrez... Gif.
Par conséquent: montrez... Gif.
Le cas d'égalité dans l'inégalité arithmético-géométrique est montrez... Gif, ce qui équivaut à montrez... Gif et montrez... Gif.
*) Ensuite, nous montrons l'inégalité souhaitée montrez... Gif.
Nous avons montré que montrez... Gif.
Nous avons aussi montrez... Gif avec égalité si montrez... Gif et montrez... Gif.
Et aussi montrez... Gif avec égalité si montrez... Gif et montrez... Gif.
En sommant ces trois inégalités, on obtient montrez... Gif.
Finalement, le résultat en découle: montrez... Gif.
Avec égalité si et seulement si montrez... Gif, montrez... Gif et montrez... Gif.
CQFD.
Sauf erreurs.
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elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


Masculin Nombre de messages : 482
Age : 59
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

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MessageSujet: Re: montrez...   montrez... EmptySam 27 Mar 2021, 18:50

Bonjour belgacem et nmo

une seconde solution :

En notant , a = x/3 , b = y/3 et c = z/3  , on a , 0 < a , b , c < 1  et  a + b + c = 1

L'expression à minimiser s'écrit alors : [1/racine(3)] . [ a.f(a) + b.f(b) + c.f(c) ]

où f est la fonction définie sur ]0,1[ par : f(x) = 1/[racine(x).(1-x)]

f est strictement convexe (f'' > 0) et atteint son minimum 3.racine(3)/2 en x=1/3

L'expression à minimiser est donc supérieure ou égale à [1/racine(3)] . f(a² + b² + c²) >= 3/2

avec égalité si et seulement si a = b = c = 1/3 c'est à dire si et seulement si x = y = z = 1

naïl aime ce message

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naïl
Maître
naïl


Masculin Nombre de messages : 196
Age : 40
Date d'inscription : 25/04/2006

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MessageSujet: Re: montrez...   montrez... EmptyDim 28 Mar 2021, 08:08

elhor_abdelali a écrit:
[...]
L'expression à minimiser s'écrit alors : [1/racine(3)] . [ a.f(a) + b.f(b) + c.f(c) ]

où f est la fonction définie sur ]0,1[ par : f(x) = 1/[racine(x).(1-x)]
[...]
avec égalité si et seulement si  a = b = c = 1/3 [...]
f''(x)=0.5 x^{-2.5} .(1-x)^{-3} .(7.5 x^2 -5x +1.5)
Mais le théorème de convexité stipule-t-il un cas d'égalité ? Par exemple, pour f fonction strictement convexe, alpha f(x) +(1-alpha) f(y) =f(alpha x +(1-alpha)y) implique une une condition sur x et y et sur alpha?
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elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


Masculin Nombre de messages : 482
Age : 59
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

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MessageSujet: Re: montrez...   montrez... EmptyDim 28 Mar 2021, 12:37

Bonjour,

Oui. Si f est strictement convexe sur un intervalle non trivial I de IR alors la courbe de f

ne coupe chacune de ses cordes qu'aux deux extrémités de celle-ci, ce qui se traduit par :

pour tous x,y de I tels que x<y , pour tout réel t tel que 0<t<1 , f[(1-t).x + t.y] < (1-t).f(x) + t.f(y)
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