montrez...

belgacem a écrit:

Je vais faire une démonstration en deux étapes:
*) Tout d'abord, nous allons montrons que .
On a d'après l'inégalité arithmético-géométrique: .
Or, , donc: .
Par conséquent: .
Le cas d'égalité dans l'inégalité arithmético-géométrique est , ce qui équivaut à et .
*) Ensuite, nous montrons l'inégalité souhaitée .
Nous avons montré que .
Nous avons aussi avec égalité si et .
Et aussi avec égalité si et .
En sommant ces trois inégalités, on obtient .
Finalement, le résultat en découle: .
Avec égalité si et seulement si , et .
CQFD.
Sauf erreurs.

Bonjour belgacem et nmo

une seconde solution :

En notant , a = x/3 , b = y/3 et c = z/3  , on a , 0 < a , b , c < 1  et  a + b + c = 1

L'expression à minimiser s'écrit alors : [1/racine(3)] . [ a.f(a) + b.f(b) + c.f(c) ]

où f est la fonction définie sur ]0,1[ par : f(x) = 1/[racine(x).(1-x)]

f est strictement convexe (f'' > 0) et atteint son minimum 3.racine(3)/2 en x=1/3

L'expression à minimiser est donc supérieure ou égale à [1/racine(3)] . f(a² + b² + c²) >= 3/2

avec égalité si et seulement si a = b = c = 1/3 c'est à dire si et seulement si x = y = z = 1

elhor_abdelali a écrit:

[...]
L'expression à minimiser s'écrit alors : [1/racine(3)] . [ a.f(a) + b.f(b) + c.f(c) ]

où f est la fonction définie sur ]0,1[ par : f(x) = 1/[racine(x).(1-x)]
[...]
avec égalité si et seulement si  a = b = c = 1/3 [...]

f''(x)=0.5 x^{-2.5} .(1-x)^{-3} .(7.5 x^2 -5x +1.5)
Mais le théorème de convexité stipule-t-il un cas d'égalité ? Par exemple, pour f fonction strictement convexe, alpha f(x) +(1-alpha) f(y) =f(alpha x +(1-alpha)y) implique une une condition sur x et y et sur alpha?

Bonjour,

Oui. Si f est strictement convexe sur un intervalle non trivial I de IR alors la courbe de f

ne coupe chacune de ses cordes qu'aux deux extrémités de celle-ci, ce qui se traduit par :

pour tous x,y de I tels que x<y , pour tout réel t tel que 0<t<1 , f[(1-t).x + t.y] < (1-t).f(x) + t.f(y)