limite expo - sinus

Bonjour;

Tout d'abord , calculons : lim(x--> 0+) xexp(1/sin(x)) .

Supposons x appartenant à ] 0 ; u[ avec u < pi/4 ;

donc on a : 0 < sin(x) < x ;

donc : 1/x < 1/sin(x) ;

donc : exp(1/x) < exp(1/sin(x)) ;

donc : xexp(1/x) < xexp(1/sin(x)) .

On a : lim(x--> 0+) xexp(1/x) = lim(x--> 0+) exp(1/x)/(1/x)

= lim(t --> +inf) exp(t)/(t) avec 1/x = t ;

= + inf .

Comme lim(x--> 0+) xexp(1/x) = + inf ; alors : lim(x--> 0+) xexp(1/sin(x)) = + inf .



Calculons maintenant : lim(x--> 0-) xexp(1/sin(x)) .

Supposons x appartenant à ] u ; 0[ avec u > - pi/4 ;

donc : x < sin(x) < 0 ;

donc : lim(x--> 0-) xexp(1/sin(x)) = 0 ;

car lim(x--> 0-) 1/sin(x) = - inf  ; lim(x--> 0-) exp(1/sin(x)) = 0 .