limite expo -nradical

Bonjour;

lim(x--> + inf) exp(- 1/x) racinecarrée(x² + 1) - x

= lim(x--> + inf) exp(- 1/x) x racinecarrée(1 + 1/x²) - x

= lim(t --> 0+) exp(- t) 1/t racinecarrée(1 + t²) - 1/t

= lim(t --> 0+) {exp(- t) racinecarrée(1 + t²) - 1}/t .


En notant f et g les fonctions définies et dérivables sur ]0 ; + inf[

dont les expressions algébriques sont respectivement : f(t) = exp(- t) racinecarrée(1 + t²) - 1

et g(t) = t ; on a : f'(t) = {t/racinecarrée(1 + t²) - racinecarrée(1 + t²)}exp(- t) et g'(t) = 1 ;

et lim(t --> 0+) f(t) = lim(t --> 0+) g(t) = 0 .



On a : lim(t --> 0+) f'(t)/g'(t)

= lim(t --> 0+) {t/racinecarrée(1 + t²) - racinecarrée(1 + t²)}exp(- t) = - 1 ;

donc en appliquant la règle de l'Hôpital généralisée , on obtient :

lim(x--> + inf) exp(- 1/x) racinecarrée(x² + 1) - x

= lim(t --> 0+) {exp(- t) racinecarrée(1 + t²) - 1}/t = - 1 .

merci de votre aide peut-on calculer cette limite sans la règle de l'Hôpital généralisée ?

Bonjour;


Tu as raison belgacem , on peut faire plus simple et calculer cette limite sans la règle de l'Hôpital

généralisée : en toute franchise , je ne sais pas pourquoi je l'ai utilisée .


lim(x--> + inf) exp(- 1/x) racinecarrée(x² + 1) - x

= lim(x--> + inf) exp(- 1/x) x racinecarrée(1 + 1/x²) - x

= lim(t --> 0+) exp(- t) 1/t racinecarrée(1 + t²) - 1/t

= lim(t --> 0+) {exp(- t) racinecarrée(1 + t²) - 1}/t .


En notant f la fonction définie et dérivables sur [0 ; + inf[

dont l'expression algébrique est : f(t) = exp(- t) racinecarrée(1 + t²) ;

on a : f'(t) = {t/racinecarrée(1 + t²) - racinecarrée(1 + t²)}exp(- t) ;

donc on a : f(0) = 1 , f ' (0) = - 1 et lim(x--> + inf) exp(- 1/x) racinecarrée(x² + 1) - x

= lim(t --> 0+) {exp(- t) racinecarrée(1 + t²) - 1}/t .

= lim(t --> 0+) {f(t) - f(0)}/t = f ' (0) = - 1 .