dérivabilité et continuité

f(b)=b'
f(a)=? illisible
f(c)=? illisible

f(b) = b² pour compatibilité avec f(a) = ab ? Alors existe-il c entre a et b tel que f(c) = bc ?

c=a ou c=b convient car on cherche c dans [a,b]
si on veut un c dans ]a,b[ le résultat est faux
prendre f(x)=sin(pi x/2) sur [0,1]
f(0)=0
f(1)=1  
l'équation f(c)=c <-->c=0 ou c=1

Et si f(a)=b² et f(b)=ab, alors c?