Calcul d'un produit

x et y deux réels strictement positifs tel que :
y = 5x et x^y = y^x
Calculez : xy .

Bonjour belgacem ;


On a : y = 5x ;

donc : x^y = y^x <=> x^(5x) = (5x)^x <=> Ln( x^(5x)) = Ln((5x)^x)

<=> 5x Ln(x) = x Ln(5x) <=> 5 Ln(x) = Ln(5x) = Ln(5) + Ln(x)

<=> 4 Ln(x) = Ln(5) <=> Ln(x) = (Ln(5))/4

<=> x = exp((Ln(5))/4) = (exp(Ln(5)))^(1/4) = (5)^(1/4) .

On a donc : x² = ((5)^(1/4))² = (5)^(1/2) ;

donc : xy = 5x² = 5 * (5)^(1/2) = (5)^(3/2) .

merci de votre aide

(5x)^x = x^(5x) تفضي المعادلة
(5x)^x = (x^5)^x إلى
5x = x^5 و بما أن الأعداد كلها موجبة فإن
x⁴ = 5 يعني أن
5x² و حيث إن المطلوب هو حساب
(xy)² = 5 *25 فإن