ensembles des olympiades 2006

1°-sois x est un reél tels que x²=4x-1
déterminer la valeur de

x^3+x²+x+(1/x)+(1/x²)+(1/x^3)

2°-ABCD est un trapéze tels que(AB)//(CD).sois M milieu de [AC] et N milieu de [BD]
DEMONTREZ QUE : AB+CD=2MN

3°- ABC est un triangle rectangle dans A tels que AB=3 et AC=4
sois E £ [BC]. le droit passant deE et en paralléle avec (AC) et qui coupe [AB] dans F

calculez la distance BF sachant que BEF et le trapéze ACEF ont le même surface

4°-
a,b et c sont des nombres reéls positifs
montrez que

(a+b+c)² est supérieur ou égal à 3(ab+bc+ac)

salut
pour le 4eme
(a+b+c)²-3(ab+bc+ac)=(a+b)²+2c(a+b)+c²-3ab-3c(a+b)
=a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc=a²+b²+c²-ab-ac-bc
on sait que a²+b²≥2ab et a²+c²≥2ac et b²+c²≥2bc
se qui fait 2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
alors a²+b²+c²≥ab+ac+bc
a²+b²+c²-ab-ac-bc≥0
alors (a+b+c)²-3(ab+bc+ac)≥0
[url](a+b+c)² ≥3(ab+bc+ac)[/url]

pour la 1er
remarque que x^3+x²+x+(1/x)+(1/x²)+(1/x^3)=x^3+(1/x)^3+x²
+(1/x)²+x+(1/x)=(x+1/x)(x²-1+1/x²)+(x²+1/x²)+(x+1/x)
=(x+1/x)(x²-1+1/x²+1)+(x²+1/x²)
=(x+1/x+1)(x²+1/x²)=(x+1/x+1)((x+1/x)²-2)
il faut resoudre l'eqotion x²=4x-1
puis 3oud x dans (x+1/x+1)((x+1/x)²-2)

pour les autres je vais reflechir

salut, voila mes solutions:
pour le 1er exercice, il a été résou par anas_matheux:cheers: mais c pas necessaire de résoudre l'équation:
remarquer que x+1/x=(x²+1)/x
on a x²=4x-1 donc x²+1=4x
x+1/x=4x/x=4
donc A=(4+1)(4²-2)=5*(16-2)=5*14=70.
pour le deuxième exercice il y a une faute
il faut démontrer que CD-AB=2MN si AB< CD OU AB-CD=2MN si AB>CD.
posons Q le milieu de [AD] .
considérons le triangle ADC.
M est milieu de [AC] et Q est milieu de [AD].
donc (QM)//(DC) et QM=DC/2 (1)
considérons le triangle ADB.
N est milieu de [BD] et Q est milieu de [AD].
donc (QN)//(DC) et QN=AB/2 (2)
de (1) et de (2) on conclut que N,M et Q sont sur la meme droite.
si AB on QM=QN+MN.
DC/2+AB/2+MN.
MN=(DC-AB)/2 donc 2MN=DC-AB.
De la meme façon on démontre que 2MN=AB-DC SI AB>CD
si AB=CD donc ABCD est un parralléllograme donc [AC] et [BD] ont le meme milieu donc M=N.
MN=0 et AB-CD=CD-AB=0
donc 2MN=AB-CD=CD-AB.
Pour le troisième exercice:
posons S est la surface de ABC, S1 la surface de BEF et S2 la surface de ACEF.
donc S=S1+S2.
puisque BEF et ACEF ont la meme surface on a S1=S2.
donc S=2*S1.
On a (EF)//(AC) et (AB) est perpendiculaire avec (AC) parce que ABC est un triangle rectangle en A.
donc (EF) est perpendiculaire avec (AB), et puisque F appartient à (AB) donc (EF) est perpendiculaire avec (AB) en F.
donc BEF est triangle rectangle en F.
donc S1=BF*EF/2
S=BF*EF.
considérons le triangle ABC,
E appartient à (BC) et F appartient à (AB) et (EF)//(AC).
donc BF/BA=BE/BC=EF/AC.
BF/BA=EF/AC.
EF=BF*AC/AB.
donc S=BF²*AC/AB. donc BF²=S*AB/AC.
et puisque S=AB*AC/2.
BF²=AB*AC*AB/2AC=AB²/2
BF²=3²/2=9/2
et puique la distance est toujours positive on a BF=V9/V2=3/V2=3V2/2.
donc BF=3V2/2.
pour le quatrième j'ai fait la meme méthode que anas_matheux.

je veux savoir si ma réponse pour le deuxième exercice est correcte??
répondez moi

oui moi aussi j'ai remarqué la faute du 2eme :affraid:
merci rim hariss pour les autres exercices

pour le dernier,le reordonnement est clairement est le meilleur moyen lool il le prouve en deux lignes lool.

fais voir ta démo stp toetoe avec réordonnement

ok merci les gas
et bon courage
c'est trés bien

ok merci les gas
et bon courage
c'est trés bien