deux inégalités

1
a,b,c are positive real numbers.


2

kimo a écrit:

1.notons S la somme de gauche et r la racine carré
S=a(a+1)/b+b(b+1)/c+c(c+1)/a >=2{ar(a)/b+br(b)/c+cr(c)/a}=2T
d'après l'inégalité de Cauchy schwarz on a:
{1/r(a)+1/r(b)+1/r(c)}T>=(r(a/b)+r(b/c)+r(c/a))^2>=3

il suffit alors de montrer que 1/r(a)+1/r(b)+1/r(c)<=3 or ceci est vrai d'après l'inégalité de la moyenne ponderée.

Ce n'est pas ce qu'on demande!
S#(a²+c)/b+(b²+a)/c+(c²+b)/a

oui c'etait une erreur je vais la corriger

notons S la somme de gauche
on a
S=(a^2/b+b/a)+(b^2/c+c/b)+(c^2/a+a/c)>=2(r(a)+r(b)+r(c))
>=18/(1/r(a)+1/r(b)+1/r(c))

Et d'après l'inégalité de la moyenne pondérée on montre que
1/r(a)+1/r(b)+1/r(c)<=3 ce qui achève la preuve.

2. soit X la somme de gauche
on sait que 1/(a+b)>=(a+b)/2(a^2+b^2)
d'où (ac+ab^2)/(a+b)>=a(a+b)(b^2+c)/2(a^2+b^2)

or a(a+b)(b^2+c)=a^2b^2+a^2c+ab^3+1>=4/c^2 ( IAG )

donc X>= 2/c^2(a^2+b^2)+2/b^2(c^2+a^2)+2/a^2(b^2+c^2)
>=(1/a+1/b+1/c)^2/(a^2+b^2+c^2) ( cauchy-schwarz )
>=9/(a^2+b^2+c^2) ( IAG )