ls olympiades

merci à tous

qui a fait le 3 exo

dj_tenti a écrit:

selfrespect a écrit:

*si x et y >1
alors (x-1)(1-y)<0 ==> (a-1)(b-1)<2
=> ==>(a-1)(b-1)=1 ou (a-1)(b-1)=0 ==>(a.b)£{(2.2),(1.1)} <=

Ta trébuché msr ds ce passaj :
tu na po (a-1)(b-1) => a,b £ 1.1
contre exempl : a=1 et b£N

on est dacor?

non;on a supposé au debut ab#0 ==>a>=1 et b>=1 ==>(a-1)(b-1) appartient a N .
et puisque on a (a-1)(b-1)<2 on deduit alors (a-1)(b-1)£{0.1} (c est 1 entier)
si a=1 alors 1+b=xy et b=x+y ==>x+y-xy-1+2=0
==>(x-1)(1-y)=-2 ==>(x-1)(y-1)=2 ==>........
j espere qu on soit tous d accord!!

mais ou est le 3 eme exo aucun le fait au quoi

la cef est que S_abd=S_adc
tel que db=dc

ABC triangle rectangle en C et « a » la mesure de l'angle formée par la médiane issue de A et l'hypoténuse. Soit I le milieu de [BC] et H la projection orthogonale de I sur (AB). On veut montrer que Sin(a) <= 1/3

Nous avons par définition :
Sin(a) = IH/AI
Or AI² = AC² + CI² = AC² + BC²/4
Comme S(ABC) = S(AIC) + S(AIB)
BC x AC = IH x AB + AC x BC/2
Soit IH = BC x AC / (2 x AB)

Sin²(a) = IH² / AI²
Sin²(a) = ( (BC² x AC²) / (4 x AB²) ) x ( 4 / (BC² + 4 x AC²) )

Le dénominateur est une somme donc la fraction serait plus facile à décomposer si l’on prend l’inverse, prenez tjs ce réflexe

S = 1/ Sin²(a)
S = AB² / AC² + 4 x AB² / BC²
Comme AB² = AC² + BC²
S = 5 + BC² / AC² + 4 x AC² / BC²

On pose T = BC² / AC²
S(T) = 5 + T + 4/T
En étudiant la variation de la fonction S, elle est décroissante dans ]0, 2] et croissante dans [2, +infinie[
S(2)=9 est la valeur minimale de S
Nous venons de démontrer que S(T) >= 9 pour tout T strictement positif
Pour T=0, [BC]=0, donc a=0 et Sin(a)=0, l’inégalité est vérifiée.

Donc 1/ Sin²(a) >= 9 soit Sin(a) <= 1/3

c bien , mais il y a plus facile

Conan a écrit:

c bien , mais il y a plus facile

moi je lai faite avec Elcachy + Pytagore + 'a+b>=2rac(ab)'

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Conan a écrit:

c bien , mais il y a plus facile

moi je lai faite avec Elcachy + Pytagore + 'a+b>=2rac(ab)'

Je crois qu'on a fait la meme méhode

ben moi aussi , mais on nous a proposé une autre methode

je vais vous donner des indices: on a trace l'autre mediane qui se coupent avec l'autre dans un point g , pui faire sa projection orthogonale , et avec la relation de g centre de gravitation d'un triangle celle de 2/3 on conclu

je vous laisse le soin de la ....

Super ta méthode, et la plus courte en plus

merci