olympiades 2007 2SM dev3 ex2

x,y et z sont des reels verifiant :
x+y+z=5
xy+yz+zx=3
quelle est la plus grande valeur pour chacun des nombres x,y et z

Bonsoir ;
Il est d'abord facile de voir que x² + y² + z² = 19
et en posant a = x - 5/3 , b = y - 5/3 et c = z - 5/3 on a :
a + b + c = 0 et a² + b² + c² = 32/3 soit
a² + b² + ab = 16/3 ou encore
(b+a/2)² + (aV3/2)² = 16/3 ce qui donne
a =< 8/3 c'est à dire | x - 5/3 | =< 8/3 et finalement on voit que
x =< 13/3 et par symétrie y =< 13/3 et z =< 13/3
Cette valeur maximale est atteinte exclusivement pour
x = 13/3 , y = z = 1/3 ou
x = z = 1/3 , y = 13/3 ou
x = y = 1/3 , z = 13/3 farao

(sauf erreur bien entendu)