droites

salut
on a (Dm) se sont des droites tel que Dm:(2m-1)x+(5-m)y+6-7m=0
montrez que tous les droites (Dm) se coupent dans le même point é detreminez ses "ihdatiate" merci

mohamed a écrit:

salut
on a (Dm) se sont des droites tel que Dm:(2m-1)x+(5-m)y+6-7m=0
montrez que tous les droites (Dm) se coupent dans le même point é detreminez ses "ihdatiate" merci

soit m et m' deux reel diferent et M(a,b) lintersection de Dm et Dm' (supposant qu elle existe)
puisqu on a M(a,b)£ Dm I Dm' (I inter "ta9ato3))
on a
(2m-1)a+(5-m)b+6-7m=(2m'-1)a+(5-m')b+6-7m'
==> (2m-2m')a+(m'-m)b+7(m'-m)=0
==>2(m-m')a-(m-m')b-7(m-m')=0
m#m' ==> 2a-b-7=0 ==>b=2a-7
pour tt m de R on a :(2m-1)a+(5-m)(2a-7)+6-7m=0
==> (2m-1+10-2m)a-35+7m+6-7m=0
==>9a-29 =0 ==> a=29/9 et b=2a-7
***************
ou bien resoudre le systeme
(2m-1)x+(5-m)y=7m-6
(2m'-1)x+(5-m')y=7m'-6
Determinant est =
(2m-1)(5-m')-(5-m)(2m'-1)=10m-2mm'-5+m'-[10m'-5-2mm'+m]
=9(m-m')#0 ==> le systeme admet une solution (c est a dire ta9ato3 Dm et Dm' existe)....


**************

La solution de Selfrespect est tout à fait correcte .
Je me permets de soumettre celle-ci qui me parait plus courte !!
Tu as affaire à ce qu'on appelle un faisceau de droites ,le paramètre étant m dans R ;deux droites en particuliers font partie du faisceau :
m=1/2 9/2 y=-5/2 y=-5/9 c'est D(1/2) droite parallèle à l'axe des abscisses
m=5 9x=29 x=29/9 c'est D(5) droite parallèle à l'axe des ordonnées

Bien entendu D(1/2) et D(5) se coupent en A(29/9,-5/9) et ce point comme par hasard appartient à toutes les droites Dm du faisceau ,il suffit de vérifier que les coordonnées de A satisfont à l'équation de Dm
(2m-1)x+(5-m)y+6-7m=0 Ce qui est un jeu d'enfant ! LHASSANE

mohamed a écrit:

salut
on a (Dm) se sont des droites tel que Dm:(2m-1)x+(5-m)y+6-7m=0
montrez que tous les droites (Dm) se coupent dans le même point é detreminez ses "ihdatiate" merci

salut Bourbaki je crois qu on doit tt d abord montrer que les droites Dm se coupent en un seul point puis le determiner; non ??

Oui selfrespect !!!!
Tu as raison , vu la manière dont est tournée la question !
Amitiés. LHASSANE
PS: ta réponse est à son endroit , on ne peux plus faire + correcte !!!

Une façon de résoudre cette question est de réecrire l'équation de Dm ainsi
m(2x-y-7)=x-5y-6
et de dire : la relation précédente devant etre vraie pour tout m dans R est que 2x-y-7=0 et x-5y-6=0 (( on retrouve ici les deux droites génératrices du faisceau (Dm)m )) . La résolution du système
2x-y=7
x-5y=6
conduit au point d'intersection cherché . Qu'en penses-tu ?????

BOURBAKI a écrit:

Oui selfrespect !!!!
Tu as raison , vu la manière dont est tournée la question !
Amitiés. LHASSANE
PS: ta réponse est à son endroit , on ne peux plus faire + correcte !!!

Une façon de résoudre cette question est de réecrire l'équation de Dm ainsi
m(2x-y-7)=x-5y-6
et de dire : la relation précédente devant etre vrai pour tout m dans R est que 2x-y-7=0 et x-5y-6=0 (( on retrouve ici les deux droites génératrices du faisceau (Dm)m )) . La résolution du système
2x-y=7
x-5y=6
conduit au point d'intersection cherché . Qu'en penses-tu ?????

tout a fait juste, Chapeau Mr BOURBAKI ! je crois que votre methode est la meilleure.

on a : Dm:(2m-1)x+(5-m)y+6-7m=0

donc : 2mx-x + 5y - my +6 -7m = 0

donc m(2x-y-7) -x+5y+6 = 0

alors on suppose que : 2x-y-7=0
-x+5y+6=0

alors tous dm se coupent en (11/6:-5/6)

Bonsoir Conan !!!
C'est exactement ce que j'avais dit , sauf que toi tu t'es trompé dans la résolution du système donnant le point d'intersection des droites Dm, m dans R !!!! LHASSANE

salut
merci à tous les partcipants
mé je ne cmprends paq pourquoi on fé cela 2x-y-7=0 et x-5y-6=0

Bonjour Mohamed!!!
Au point d'intersection A(x,y) du faisceau (Dm)m m dans R , on doit avoir :
m(2x-y-7) =x-5y-6 pour tout m dans R
Or cette relation pour qu'elle soit vraie quelque soit m dans R , elle exige que simultanément 2x-y-7=0 et x-5y-6 =0 .
Voir ci-dessous :

{ a, b dans R a et b sont fixés ,
si pour tout m dans R : am=b alors a=b=0 }
PREUVE :
Si on choisit en particulier m=1 , on obtient a=b .
Si a<>0 on prendra m'= b/(2a) et pour ce choix du paramètre on devrait avoir am'=b c'est à dire (ab)/(2a)=b ce qui donnerait après simplification ( puisque a<>0 ) b/2=b et comme a=b alors b<>0 et enfin on aboutirait à une absurdité 1/2=1
C'est donc que a=0 ( Raisonnement par l'absurde ) et de là b=0