Svp Aide En Olympiade de Safi!!!!!

Vendredi à 14h30 on a passé l'olympiade de maths, je croyais que ça pourrait être bonnement digestible mais les questions ont été bien corsés. donc, je les publie pour avoir ces réponses à laquelles j'ai pas pu répondre.
Exercice 1
trouver tous les nombres ds Z (x,y et z) qui réalisent dans IR²

x+y+xy=19
y+z+yz=11
z+x+zx=14

Exercice 3
abc est traingle rectangle ds A tels que:
AB=8 et AC=2
La droite parallèle à (ac) croise (AB) et (BC) respectivement dans P et S
Calculez la distance AP pour le triangle BPS et le trapèze PSCA aient la même superficie.
Exercice 4
ABC est triangle dont le périmètre est p. les points I,J et K sont respectivement les milieux de [AB],[Ac] et [BC].
Prouver que: (3/4)p<AK+BJ+CI<p
S.V.P aidez moi, ça me mine!!!!

x+y+xy=19 <==> (x+1)(y+1)=20
y+z+yz=11 <==> (y+1)(z+1)=12
z+x+zx=14 <==> (x+1)(z+1)=15

==> (x+1)²(y+1)²(z+1)²=60²
==> (x+1)(y+1)(z+1)=60 ou (x+1)(y+1)(z+1)=-60

==> .....

3-on pose BP=x , AP=y et PS=z
alors on aura:
(xz)/2=yz+(2-z)y/2 ie xz=yz +2y (1)
x+y=8. (2)
x/8=z/2 (3).
(1) ,(2) et (3) entrainent : x=4 V(2).

salut
soit ABC un triangle et G son centre de gravité .
soit k ,J ,I les milieus de [BC] et [AC] et [AB] respectivement.B" la symrtriie de b par raport a B'
***on AG=2AI/3 et BG=2BJ/3 et CG=2CK/3
AB<AG+GB
BC<BG+CG
AC<BG+GC
en sommant on a P<4(AI+BJ+CK)/3 (11111)
***on a BB"=2BJ<AB+AB"=AB+BC (PARALLELOGRAMME)
de meme on a 2CK<BC+AC et 2AI<AB+AC
EN SOMMANT ON A
2(AI+BJ+CK)<2P (11111)
de (11111) on deduit linegalité cherchée.
(essayer de dessiner la figure convenable pour que la demo soit lisible!)

bonsoir
puisque (SP) est parallèle avec (AC) et selon le théorème de talès
BP/AB=SP/AC
donc BP.AC=SP.AB ce qui donne 8BP=2SP donc SP=BP/4
on a la superficie du trapèze égale à la superficie du triangle
et la superficie du triangle est BP.SP/2 et la superficie du grand triangle est AC.AB/2=16 alors AC.AB=8
donc 2(BP.SP/2)=AC.AB/2
BP.SP=8
et SP=BP/4
donc BP.BP/4=8 et BP=AC-AP
alors (AC-AP)(AC/4 -AP/4)=8 et AC=2
donc (2-AP)(1/2 -AP/4)=8
1-AP/2-AP/2+AP²/4=8
AP²/4-2(AP/2)+1=8
(AP/2 -1)²=8
donc AP/2-1=V8 ou AP/2-1=-V8 et puisque AP>0
donc AP/2=1+V8
AP=2+2V8=2+4V2
et voilà

AH Merde!!! ça me file la déprime et dire que je suis restée collée pendant 3 heures. j'étais bloquée, incapable de répondre..........

abdelbaki.attioui a écrit:

x+y+xy=19 <==> (x+1)(y+1)=20
y+z+yz=11 <==> (y+1)(z+1)=12
z+x+zx=14 <==> (x+1)(z+1)=15

==> (x+1)²(y+1)²(z+1)²=60²
==> (x+1)(y+1)(z+1)=60 ou (x+1)(y+1)(z+1)=-60

==> .....

j'aurais l'honneur de continuer ta réponse
(x+1)(y+1)=20
(x+1)(y+1)(z+1)=20(z+1)
(x+1)(y+1)(z+1)=60 ou (x+1)(y+1)(z+1)=-60
donc 60=20z+20 ou -60=20z+20
z=2 ou z=-4
(y+1)(z+1)=12
(y+1)(z+1)(x+1)=12(x+1)
60=12x+12 ou -60=12x+12
x=4 ou x=-6
(x+1)(z+1)(y+1)=15(y+1)
60=15y+15 ou -60=15y+15
y=3 ou y=-5
et voilà

CURIEUX!!!!!!!!!!MA SOEUR A PASSE LES MEMES OLYMPIADES EST CE QUE CETTE COMPETITION EST NATIONALE

ZENA EN TT CAS MA SOEUR N'a PAS REPONDU AU SYSTEME ELLE AUSSI

je crois que cest le mem que .
https://mathsmaroc.jeun.fr/Lycee-c1/Seconde-Tronc-commun-f6/systeme-amusant-p13017.htm?highlight=#13017
..suite
y+1 est paire ==>
y+1=4 ou y+1=-4
y+1=4 ==> (x,y,z)=(4,3,2)
y+1=-4==>x+1=-5 ==>x=-6 et z=-4
==> (x,y,z)=(-6,-5,-4)
S={(4.3.2),(-6.-5.-4)}

OUI T'AS RAISON SELFRESPECT J'AI DEJA PROPOSE CE PROBLEME