un autre defi pour vous

f:N==>N
(X;Y)==>(x+y)(x+y+1)/2demontrez que f est injective

Bonsoir g_unit_akon !!!!
Merci pour ton mail , je prends le temps d'y réfléchir. Mais , j'ai vu tu as sur le Forum des réponses très interessantes de abdelbaki.attioui ; pilot_aziz et eto . Merci à eux !!!!
Pour ta question posée ci dessus : est-ce un gag ??!!!
La fonction f partirait de INxIN dans IN d'abord ; ensuite elle n'est pas injective f(2,5)=f(4,3) .
PS: si (x,y) est fixé dans INxIN ; f(x,y) est le nombre des couples (a,b) d'entiers naturels t.q a+b<=x+y . La fonction f est utilisée pour denombrer INxIN selon le procédé dit diagonal . Lhassane

VOUS AVEZ RAISON VOILA L'ENNONCEE


(X;Y)==>((x+y)(x+y+1)/2)+Y demontrez que f est injective

ALORS??????????

je vous demande pardon car l'ennoncee etait fausse mais mnt je suis sur qu'elle est juste

ALORS LES AMIS???????

<STRONG>

g_unit_akon a écrit:

VOUS AVEZ RAISON VOILA L'ENNONCEE


(X;Y)==>((x+y)(x+y+1)/2)+Y demontrez que f est injective

ALORS??????????

salut
f(0.0) <==>x=y=0
soient (p,q) et (x,y) de N² tel que (non nuls)
f(p,q)=f(x,y)
si : x+y

JE N'AI PAS BIEN COMPRIS CE PASSAGE
2f(p,q)=(p+q)(p+q+1)+2q=(p+q)²+p+q+2q>=(x+y+1)²+(x+y+1)+2q
>=f(x,y)+2q+1>f(x,y)
alors x+y<p+q ==>f(x,y)<f(p,q)

g_unit_akon a écrit:

VOUS AVEZ RAISON VOILA L'ENNONCEE


(X;Y)==>((x+y)(x+y+1)/2)+Y demontrez que f est injective

ALORS??????????

salut
f(0.0) <==>x=y=0
soient (p,q) et (x,y) de N² tel que (non nuls)
f(p,q)=f(x,y)
si : x+y<p+q alors
*2f(p,q)=(p+q)(p+q+1)+2q=(p+q)²+p+q+2q>=(x+y+1)²+(x+y+1)+2q
>= (x+y)²+(x+y) +2(x+y)+2q=2f(x,y)+2x+2q>f(x,y)
donc x+y<p+q ==>f(x,y)<f(p,q)
de meme on a x+y>p+q ==> f(x,y)>f(p;q)
alors f(x,y)=f(p,q)==> x+y=p+q
donc (x+y)(x+y+1)+2y=(p+q)(p+q+1)+2q
==>y=q et alors x=p
donc f est injective

question montrer que f est surgective.

ps le msg a ete suprimé et je sais po pokoi!!!

OUI MNT T'AS RAISON IL FAUT TRAITER LE CAS DE(X,Y)=(0.0)
si f(x,y)=f(a,b) ==>x+y<a+b
==>(1+2+3..+x+y)+y=(1+2..+x+y)+x+y+1+...a+b)
==>0=x+y+1+...+a+b
et c faux
donc f(x,y)=f(a,b) ==>x+y=a+b
et de la meme facon la suite
alors qu'est ce que t'en penses????

g_unit_akon a écrit:

OUI MNT T'AS RAISON IL FAUT TRAITER LE CAS DE(X,Y)=(0.0)
si f(x,y)=f(a,b)
si : x+y<a+b
alors f(x,y)=f(p;q)==>(1+2+3..+x+y)+y=(1+2..+x++x+y+1+...a+b)
==>0=x+y+1+...+a+b
et c absurde.
si a+b<x+y alors on obt1 de meme une contradiction.
donc f(x,y)=f(a,b) ==>x+y=a+b
et de la meme facon la suite
alors qu'est ce que t'en penses????

oui bravo sa3d c est une ideé claire et facile .
bon mantenant essayons de montrer que f est surgective.!!lol!!

Bonjour à tous

Si a <= b, J'écris s(a,b) = a + (a+1) + (a+2) + ... . b
Donc f(x,y) = s(0,x+y) + y

1) f injective (déjà clairement démontré) :
Supposons s(0, x1+y1) + y1 = s(0, x2+y2) + y2
Alors, si x1+y1 < x2+y2, on a : y1 = s(x1+y1+1, x2+y2) + y2 et le terme de droite est nécessairement strictement supérieur à y1, donc au terme de gauche, puisque s(x1+y1+1, x2+y2) >= x1 + y1 + 1 > y1

Donc x1 + y1 >= x2 + y2. Et, de même : x2 + y2 >= x1 + y1
et donc x1 + y1 = x2 + y2
et donc s(0 x1+y1) = s(0, x2+y2)
et donc y1 = y2
et donc x1 = x2
et donc f injective

2) f surjective
La suite u_n = s(0,n) pour n >=0 est strictement croissante et tend vers +oo.

Pour tout entier a>=0, il existe donc n >= 0 unique tel que :
s(0,n) <= a < s(0,n+1)
et donc
0 <= a - s(0,n) < n+1
Appelons y = a - s(0,n) et x = n - y
On a bien y >=0 et x >= 0
et s(0, x+y) + y = a
CQFD


Patrick