prouver ou donner un contre exemple

soit f une fonction continu dans un intervalle [a,b] de R ,demontre qu'il existe un intervalle [xi,xj] de [a,b] ou la fonction f est monotone

Courbe de Bolzano . On considère f0=Id sur [0,1] puis pour n dans IN[, on considère la fonction fn+1 définie sur [0,1] par:

f_{n+1}(frac{k}{3^n})=f_n( frac{k}{3^n})
f_{n+1}(frac{k}{3^n}+frac{1} {3^{n+1}})=f_n(frac{k}{3^n}+ frac{2}{3^{n+1}})
f_{n+1}(frac{k}{3^n}+frac{2} {3^{n+1}})=f_n(frac{k}{3^n}+ frac{1}{3^{n+1}})
_ fn+1 est affine sur chacun des intervalles frac{k}{3^{n+1}},frac{k+1}{3]frac{k}{3^{n+1}},frac{k+1}{3^{n+1}}

Alors la limite de cette suite de fonctions est une fonction continue, en aucun point dérivable et monotone sur aucun sous-intervalle de [0,1].

pouver vous rendre sa lisible