un exercice pour resourdre

a et b et c sont des nombres reelle positif
montre que:
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abc

est que a,b;c>1

badr a écrit:

est que a,b;c>1

c pas la peine juste abc>0

un classique

salma1990 a écrit:

a et b et c et d sont des nombres reelle positif
montre que:
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abc

slt est ce que d fait parti de l'EX

salma1990 a écrit:

a et b et c sont des nombres reelle positif
montre que:
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>=6abc

posons , a+b+c=p et S=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
et remarquer , S=ab(p-c)+ac(p-b)+bc(p-a)=p(ab+ca+bc)-3abc
on a qqsoient a,b,c>0 ,(a+b+c)(ab+ca+bc)>=9abc (cauchy shwartz)
alors S=p(ab+ac+bc)-3abc>=6abc.

cauchy shwartz
ma reponce:
on a : ab(a+b)/abc+ac(a+c)/abc+bc(b+c)/abc=(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a
=(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
et on sait que a/b+b/a>2 et a/c+c/a>2 et b/c+c/b>2
donc (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)>6ca veut dire ab(a+b)/abc+ac(a+c)/abc+bc(b+c)/abc>6
et enfin ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abc

selfrespect a écrit:

salma1990 a écrit:

a et b et c sont des nombres reelle positif
montre que:
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>=6abc

posons , a+b+c=p et S=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
et remarquer , S=ab(p-c)+ac(p-b)+bc(p-a)=p(ab+ca+bc)-3abc
on a qqsoient a,b,c>0 ,(a+b+c)(ab+ca+bc)>=9abc (cauchy shwartz)
alors S=p(ab+ac+bc)-3abc>=6abc.

non il faut juste ajouter que a,b, c sont differents

volia ma methode juste pour eviter d'utiliser caushy shwartez

ab(a+b)/abc +bc(b+c)/abc+ac(a+c)/abc = (a+b)/c +(b+c)/a +(a+c)/b
donc = a/c +b/c +b/a +c/a +a/b +c/b >6

on sait que x+1/x >2

alors a/c+c/a>2 et b/c+c/b>2 et c/a+a/c>2

on somme et c fait

c'est ma methode

Anas_CH a écrit:

c'est ma methode

desole mais je n'ai pas fait attention mais en tt cas chapeau ANAS CH

salma1990 a écrit:

a et b et c sont des nombres reelle positif
montre que:
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abc

salut,voilà ma methode:
ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)=a²b+ab²+ac²+a²c+b²c+bc²=b(a²+c²)+a(b²+c²)+c(a²+b²)
et puis que a²+b²>=2ab==>c(a²+b²)>=2abc
et de même pour: a(b²+c²)>=2abc et b(a²+c²)>=2abc
donc on assemblant ses résultats on aura:
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abc

x(y²+z²)>=2xyz

bien vu alvis