Equation de Fermat

Bonjour,
voilà un DM que j'ai depuis un certain temps mais que je n'arrive pas à le résoudre entièrement de manière rigoureuse. Auriez vous la gentillesse de m'aider.
Merci d'avance

Equation de Fermat (*) : x^2 + y^2 = z^2 où x,y,z appartient à N

1 . On note Si l’ensemble des solutions (x, y, z) de (*) telles que les seuls diviseurs communs à x,y et z soient – 1 et + 1 (on dit alors que les entiers x, y et z sont premiers dans leur ensemble ). Déterminez l’ensemble S des solutions de (*) en fonction de Si.

2 .Soit (x,y, z) appartient Si.
a) Montrez que x ou y est pair.

b) On supposera x pair. Prouvez que y et z sont impairs et premiers entre –eux.

c) Justifiez l’existence d’entiers naturels A et B premiers entre-eux tel que z-y = 2A et z+y = 2B. Et montrez que A et B sont des carrés parfaits.

d. Prouvez qu’il existe des entiers naturels a et b premiers entre-eux et de parités différentes tels que a =< b et
x = 2ab
y =b²-a²
z = b² + a²

e. Réciproquement, montrez que le triplet (x,y,z) du d . est bien un élément de Si.

f.Qu'auriez vous obtenu au d. et au e. si l'on avait supposé y pair? Remarque: il ne vous aest pas demandé de justifier votre réponse.

a) Montrez que x ou y est pair.
supposons que x et y sont tous les deux pairs (Rq 2 divise x et y )
alors il existe a et b tels que x=2a et y=2b
d'ou l'equation devient 4(a^2+b^2)=z^2
càd 2 divise z
d'ou la contradiction du fait que les seuls diviseurs communs de (x,y,z) sont 1 et -1

b) On supposera x pair. Prouvez que y et z sont impairs et premiers entre –eux.
x est pair alors selon (2)a)) y est impair
et on a (x^2 est pair et y^2est impair
donc leur somme x^2+y^2=z^2 ( z^2 est impair )
càd z est impair .
soit d=PGCD(y,z)
d\y et d\z
alors d\z^2-y^2
càd d\x^2
donc d\PGCD(x^2,y^2,z^2) [car d\x^2 et d\y^2 et d\z^2 ]
d'ou d\PGCD(x,y,z)^2
d\1
d=1

Justifiez l’existence d’entiers naturels A et B premiers entre-eux tel que z-y = 2A et z+y = 2B. Et montrez que A et B sont des carrés parfaits.
il suffit d'ecrire
x^2=z^2-y^2
et d'utiliser les résultas précèdents

Merci beaucoup pour votre aide. Pouvez vous m'aider à faire la suite s'il vous plaît car je ne sais pas comment m'y prendre. J'ai toujours eu du mal en Arithmétique et j'aimerai bien étudié toutes vos réponses.
Encore merci

PS:j'ai compris la question 1: très simple.