je crois c'est pas facile..

bonjour
soient a,b,c des nombres réels positifs vérifiant abc=1 .mentrer que:




et bon courage

on pose : a=1/x ; b=1/y ; c=1/z
on a xyz=1 , et la somme S devient :
S = x²/(y+z) + y²/(x+z) + z²/(x+y)
D'autres part:
(y+z +x+z +x+y)S =
rac(y+z)²+rac(x+z)²+rac(x+y)²)*((x/(y+z))²+(y/(x+z))² +(z/(x+y)²)>=
(x+y+z)² d'après l'inégalité de Cauchy schwarz
ainsi: S>=(x+y+z)/2 (1)
et comme x+y+z>=3(xyz)^1/3 inégalité de la moyenne
donc (x+y+z)/2>=3/2 (2) parce que xyz=1
d'après (1) et (2) S>=3/2