f^(n)(0) dans IN qqs n

Soit f(x)=2x/(1+e^(2x)). Montrer que f^(n)(0) est dans IN qqs n dans IN.

Par récurrence ?

BJR à Tous !!!
Une simple idée à creuser !
Pourquoi ne pas écrire , à un ordre qqque m ,le Développement de Mac-Laurin de f, puis trouver , par calcul technique , le Développement Limité de f au voisinage de 0 au même ordre m puis écrire qu'ils sont égaux ( Unicité du DL ) ; une identification des coefficients fera l'affaire !!!!
LHASSANE

on n'a pas encore étudier ce Mac-Laurin ou le developpement limité monsieur BOURBAKI.

OK! Je ne savais pas que ( vraisemblablement ) ce n'est pas de votre programme !!!
Pourquoi ne pas essayer avec la reccurence et la dérivée Logarithmique
La dérivée logarithmique de f
c'est la dérivée ordinaire de Log|f(x)|
C'est donc f'/f=(1/x)-(2exp(2x)/[1+exp(2x)])
Cela sert à calculer sans doute +vite les dérivées successives de f .
A voir aussi ????!!!!
LHASSANE

Salut Bourbaki !

Je vais regarder ça ce soir !

Salut

Peut-être en passant par la formule de Leibniz et remarquer que les nombres d'Euler interviennent !

Ou alors utiliser l'analyse complexe et la formule de Cauchy ?

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit f(x)=2x/(1+e^(2x)). Montrer que f^(n)(0) est dans IN qqs n dans IN.

posons y=2x/(1+exp(2x)) et exp(2x)=z
on a (1+z)y=2x
derivation ==> (1+z)y'+z'y=2
==> (1+z)y"+2z'y'+z"y=0
==>(1+z)y"'+3z'y"+3z"y'+yz"'=0
.. on peut remarquer que
y^[n]+(sum_{0}^{n}C_{n}^{k}{z^[k]y^[n-k])=0

tel que z^[0]=z ,
est ce que c'est juste ?

Salut

Par récurrence : soit la proposition ""

Supposons vraie.

On utilise Leibniz sur :



Donc

Or :
pour

Donc :

Et donc :

D'où le résultat car P(n-1) vraie

salut
mais est ce que f^n(0)=2-2nf^(n-1)(0)
est tjs un entier

example n=2 , f²(0)=2-4f'(0)=-2

Salut

il doit y avoir une petite erreur de calcul !