matrices et arithmétique

X et Y sont deux matrices de M_n(R) telles que

1)

2)YX-XY soit inversible

montrer que n est divisible par 3

A = X + j*Y
B = X + j²*Y

avec j = exp (2*i*pi/3)

alors A*B = j*(XY-YX) et A = conjuguée(B)

Maintenant on prend les déterminants : det(A*B) et det(XY-YX) sont réels et donc j^n est réel d'où la conclusion