Equation arithmetique

soit n un entier naturel >0
Resoudre dans IZ l'equation :

Bonjour,

1) si n est pair :
On a clairement (a-b)^n <= max(|a|,|b|)^n avec égalité si min(|a|,|b|)=0
On a aussi a^n + b^n >= max(|a|,|b|)^n avec égalité si min(|a|,|b|)=0

Donc a^n+b^n = (a-b)^n <=> min(|a|,|b|)=0

2) si n est impair et ab >=0, on peut se contenter, quitte à les changer tous deux de signes, d'étudier le cas où a et b sont >=0
On a alors 0 <= (a-b)^n <= max(a,b)^n avec égalité (à droite) si min(a,b)=0
On a aussi a^n + b^n >= max(a,b)^n avec égalité si min(a,b)=0
Donc a^n+b^n = (a-b)^n <=> min(a,b)=0

3) si n est impair et ab < 0, on peut se contenter, quitte à les changer tous deux de signes, d'étudier le cas où a >0 et b < 0. Appelons c = -b > 0. On cherche alors à résoudre a^n - c^n = (a+c)^n avec a et c > 0.
ce qui est impossible puisque le premier membre est < a^n et le second > a^n.

Seules solutions :
b = 0
b non nul, a=0, n pair

--
Patrick

autre solution:
je crois que ca s'appel le théoreme de fermat
a^n+b^n=c^n
si a#0 et b#0 il n'y a pas de solution pour n>2
reste le cas n=1
a+b=a-b donc b=0
et n=2
a^2+b^2 = (a-b)^2 donc ab=0

Bonjour ;
Si a=b c'est que a=b=0
Sinon avec x=b/(a-b) on a (x+1)^n + x^n = 1
la fonction polynômiale Pn(x) = (x+1)^n + x^n - 1 vérifie ,
Pn(-1)=(-1)^n - 1 ; Pn(0)=0 ; Pn'(x)=n((x+1)^(n-1)+x^(n-1))
si n est impair , Pn est strictement croissante d'unique racine 0
ce qui donne b=0.
si n est pair Pn est strictement décroissante sur ]-oo,-1/2] et strictement croissante sur [-1/2,+oo[
d'uniques racines -1 et 0 ce qui donne a=0 ou b=0. (sauf erreur)

Salut Raa23,

Raa23 a écrit:

je crois que ca s'appel le théoreme de fermat

Fermat-Wiles, oui.
C'est plus direct (faire une remarque sur les signes des termes) mais je ne sais pas si l'utilisation de ce théorème est vraiment autorisée dans les exercices de ce niveau ;-) parceque s'il fallait le démontrer, .... :-(

--
Patrick

lol
iviennent de le démontrer donc je c po si c exigible