equation arithmetique

resoudre dans IN^3 :
x²+y²=z²

x=u²-v² et y=2uv et z=u²+v²

kalm a écrit:

x=u²-v² et y=2uv et z=u²+v²

Plus précisément : x=k(u²-v²) et y=2kuv et z=k(u²+v²)

c les meme c comme si ta multiplier x,y,z par k

kalm a écrit:

c les meme c comme si ta multiplier x,y,z par k

Bien sûr que non :

Le couple (2,1) avec k=1 donne la solution 3^2 + 4^2 = 5^2
Le couple (2,1) avec k=5 donne la solution 15^2 + 20^2 = 25^2

Le couple (10,5) avec k=1 donne la solution 75^2 + 100^2 = 125^2

Et aucun couple (u,v) avec k=1 ne donne la solution 15^2 + 20^2 = 25^2.

Donc, la solution générale est bien
x = k(u^2-v^2)
y = 2kuv
z = k(u^2 + v^2)

Et donne des solutions que
x = u^2 - v^2
y = 2uv
z = u^2 + v^2
ne donne pas.

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Patrick

a we ce que j dit c j pense si k est carre parfait mais est ce que ta une petite demonstration

4^2+3^2=25

kalm a écrit:

a we ce que j dit c j pense si k est carre parfait mais est ce que ta une petite demonstration

Je ne comprends pas ce que tu me demandes.

La solution générale de cette équation hyper-classique est
(k(u^2-v^2))^2 + (2kuv)^2 = (k(u^2+v^2))^2

Et non
(u^2-v^2)^2 + (2uv)^2 = (u^2+v^2)^2

Exemple : 15^2 + 20^2 = 25^2 ne peut se mettre sous la deuxième forme, et c'est évident : comme 15 est impair, on devrait avoir :
25=u^2+v^2 et 15=u^2-v^2 et donc u^2=20 et v^2=5, ce qui est impossible.

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Patrick

j te dit seulement que les deux equation que ta ecrit sont equivalent mais l'une fonctionne et l'autre non