extrait d'exercice 2 oly maroc

exercice 2 des Tst d'olympiade marocaine (25 novembre 2005)
a,b,c,d des réels strictement positives
Montrer que

Bonjour
soient
x=b+2c+d
y= c+2d+a
z=d+2a+b
t=a+2b+c
D'aprés Cauchy-Schwaz
(a/x+b/y+c/z+d/t)(ax+by+cz+dt) >= (a+b+c+d)²
comme
ax+by+cz+dt=ab+2ac+ad+bc+2bd+ba+cd+2ac+bc+ad+2bd+cd
=2ab+4ac+2ad+2bc+4bd+2cd
Alors
a/x+b/y+c/z+d/t >=(a+b+c+d)²/2(ab+2ac+ad+bc+2bd+cd) >=1
<==>
(a+b+c+d)²-2(ab+2ac+ad+bc+2bd+cd) >=0
Mais
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+cd+ac+ad+bc+bd)
Alors
(a+b+c+d)²-2(ab+2ac+ad+bc+2bd+cd)=a²+b²+c²+d²-2(ac+bd)
=(a-c)²+(b-d)²>=0
AA++