intersction de compacts connexes

Montrer qu'une intersection décroissante de compacts connexes est encore connexe. En va-t-il de même pour des
parties connexes par arcs ?

C = inter C_n avec C_n compact connexe

Si C = F1 U F2 avec F1 et F2 2 fermés non vides disjoints. F1 et F2 sont des fermés dans un compact donc compact eux-mêmes.

Il est classique qu'alors on peut trouver deux ouverts O1 et O2 disjoints qui contiennent F1 et F2 (par exemple O1 = {x, d(x,F1) < d(F1,F2)/3 })

On ne peut avoir C1 inclus dans O1 union O2. C1' = C1-(O1UO2) non vide.

Arrivés là on fait un dessin (c'est plus facile que ce que mes notations horribles laissent penser) : l'espace restant hors de O1 et O2 dans C1 va en rétrécissant et est compact (Cn' = C1'inter Cn).
Une intersection décroissante de compact : inter Cn' est non vide et contient donc un Ck' (par décroissance des Cn'). Mais alors Ck' inter C'1 est vide ce qui est impossible.


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Ce sont vraiment des exos niveau agreg ? Ca ressemble plus à des colles niveau MP*, non ?

C'est vrai qu'il ya d'exercices faciles et autres difficiles dans tous les niveaux même à l'agrégation

Bonjour;
Le résultat est faux pour (Kn) suite décroissante de compacts connexes par arcs:
Kn=[0,1/n]x[-1,1] U { (x,sin(1/x) / 1/n<=x<=1 }
K= {0}x[-1,1] U { (x,sin(1/x) / 0<x<=1 } non connexe par arcs.
Sauf erreurs