Intersction de GL_n(K) avec hyperplan

Bonsoir,
Montrer que GL_n(IK) coupe tout hyperplan de M_n(IK). Où Gl_n(IK) est le groupe linéaire . et IK=IR ou C

A++

Lemme (classique) :
Toute forme sur Mn(K) est de la "forme" : M -> tr(AM) pour une matrice A donnée

Dém : c'est juste une histoire de dimension en montrant que tr(AM) = 0 pour tout M => A = 0 (prendre des M avec des 0 partout sauf un 1).

Un hyperplan est le noyau de M -> tr(AM), A != 0.
On veut trouver un M inversible tq tr(AM)=0.

On prend a_ij != 0 si i != j : M = I - A/tr(A)E_ij convient (E_ij : matrice nulle sauf en (i,j)=1)
sinon tous les éléments non diagonaux sont nuls et M peut être n'importe quelle matrice de permutation.


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C'est plutot un exo d'algèbre non ?

oui c'est de l'algèbre à moinsqu'on cherhche une solution d'analyse sur R ?
sinon la preuve de tutu fonctionne sur un corps arbitraire !

Autre question : remplacer hyperplan par sous espace de codimension <n .

lolo

lolo a écrit:

Autre question : remplacer hyperplan par sous espace de codimension <n .

Ben les matrices avec 2 lignes égales forment un sous-espace de codim 2 et sont toutes non inversibles.
Hmm attends, pas vraiment.
Mais ça met une borne sur la codim.